Дифф. уравнение

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться c дифф. уравнением:

$$y'' (2y'+x)=1$$

Понижаю порядок $y'=z \Rightarrow y''=z'$, тогда:

$$z' (2z+x)=1$$

или

$$(2z+x)dz-dx=0$$

А дальше тупик. Пробовал привести его к однородному уравнению с разделяющимися переменными, но не получилось. Подскажите, пожалуйста, как быть.

-- 07.05.2014, 23:23 --

Есть такая мысль:

$$z' (2z+x)=1$$

При $2z+x \neq 0$ будет

$$z'=\frac{1}{2z+x}$$

Пусть $v=2z+x$, тогда:

$$\frac{dv}{dx} = 2z' + 1 = \frac{2}{2z+x} + 1= \frac{2}{v} + 1$$

Получаем

$$\frac{dv}{dx} = \frac{2}{v}+1 \Rightarrow \left ( 1 - \frac{2}{v+2} \right ) dv = dx$$

$$v-2 \ln|v+2| = x + C_{1}$$

или

$$2z+x-2 \ln|2z+x+2| = x + C_{1}$$

Дальше, вроде, надо выразить из этого уравнения $z$, чтобы сделать обратную замену, но как? Или до этого что-то не так?

[Ms-dos4]

В явном виде в элементарных функциях ответ не выразить (можно через W- функцию Ламберта). У меня в общем получился похожий ответ (видимо, просто отличающийся на константу), я лично решал приведением к уравнению Абеля второго рода $\[uu' - u = 1\]$.

[Limit79]

Ms-dos4
Понял, спасибо!

[Limit79]

Еще мысль пришла, в конце мы получаем уравнение:

$$2y'+x-2 \ln|2y'+x+2| = x + C_{1}$$

Это уравнение, неразрешимое относительно производной, может быть, как-то возможно получить решение, например, в параметрическом виде?

[Limit79]

Господа, мне тут подсказали мысль:

$$y'' (2y'+x)=1$$

Понижаем порядок $y'=p, y''=p'$:

$$p'(2p+x)=1$$

$$2p+x=\frac{1}{p'}$$

$$2p+x=x'$$

Получаем линейное уравнение относительно $x$, его решение:

$$x=C_{1} e^p-2p-2$$

.

А вот дальше сказали продифференцировать это уравнение, и ответ будет в параметрическом виде.

Не понимаю, как дифференцировать выражение

$$x=C_{1} e^p-2p-2$$

по $p$, когда $p=p(x)$, или вообще не по $p$ нужно дифференцировать?

-- 08.05.2014, 15:34 --

Таки да:

$$dx=C_{1} e^p dp - 2 dp$$

$$dx = \frac{dy}{p}$$

$$dy=C_{1} e^p p dp - 2p dp$$

И решение будет в параметрической форме.

Филлипов, $442$