2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разбиение плоскости
Сообщение07.07.2007, 09:35 
Плоскость разбита на клеточки (то есть \mathbb{Z}^2, бесконечная шахматная доска), на ней дана фигура - конечное число клеточек. Вопрос - можно ли этой фигурой замостить плоскость? То есть придумать алгоритм, позволяющий по фигуре определить, можно ли ее копиями покрыть всю плоскость без наложений (или доказать, что алгоритма не существует :wink: ). Фигуру можно двигать, поворачивать, переворачивать.

Дальше - вопросы как всегда: типа неужели до меня никто такую задачу не придумал итп. Пробовал искать в интернете, но удачно составить запрос не получилось - речь шла либо о разбиении "непрерывной" плоскости на многоугольники итп, либо о задачах по программированию о разбиении конечных фигур на более мелкие.

Возможны варианты: та же задача на прямой, в многомерном пространстве, запретить повороты, отражения, требовать от фигуры, чтобы она была связной, односвязной, полиомино, в-некотором-смысле-выпуклой, итп. Просто первый вариант мне кажется наиболее естественным.

Вот несколько простых примеров. Звездочками обозначены клетки фигуры, точками - пустые клетки.

1. Фигура, которой нельзя замостить плоскость:
Код:
.....
..**.
.*.*.
.**..
.....

После того, как мы поставили первую такую фигуру, ее центральную клетку уже никак накрыть не удастся. Шесть клеточек - кто меньше?

2. Наименьшая фигура, для которой я еще не знаю ответа - всего четыре клеточки!
Код:
........
.*..***.
........

3. Односвязное полиомино, которым нельзя замостить плоскость (это не я придумал)
Код:
.......
.*...*.
.*...*.
.*...*.
.*****.
.......

(P.S. Товарищи модераторы! А слово "Код" убрать можно как-нибудь?)

Тривиальное, но обнадеживающее соображение: если из какой-нибудь фигуры A удалось сложить фигуру, подобную фигуре B, то есть отличающуюся от нее растяжением по осям в целое число раз (возможно, в разное по разным осям), и про фигуру B известно, что ей можно замостить плоскость, то то же можно сказать и о фигуре A. Может, удастся найти "достаточно маленькое" количество таких фигур B, к которым все можно сводить?

Ну и так далее. Я этим не занимаюсь :oops:, но вроде красивая задачка по дискретной математике.

 
 
 
 
Сообщение07.07.2007, 10:06 
Аватара пользователя
Ключевые слова для поиска: Голомб, полимино (полиомино).

 
 
 
 Пока не нашел.
Сообщение07.07.2007, 21:07 
Спасибо Someone! Это книжка такая? Пока не нашел. Там эта задача разбирается?

 
 
 
 Re: Пока не нашел.
Сообщение07.07.2007, 22:35 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Спасибо Someone! Это книжка такая? Пока не нашел. Там эта задача разбирается?


Где-то у меня такая книжка была, но сейчас не нашёл. Насколько я помню, там вопрос о замощении плоскости и различных её частей наборами полимино затрагивается.

 
 
 
 Решил *..***
Сообщение09.07.2007, 21:55 
Фигурой, про которую я в начале темы не знал решения, замостить плоскость
 i  11.05.2010:
Не скажу, можно или нельзя, потому что предложил этот вопрос как задачку в одну онлайн-олимпиаду.
:P


Но к ответу на основной вопрос "существует ли алгоритм ..." это не приблизило. Наверное, стоит попробовать написать поисковую програмку?... Хотя, наверное, "всё уже украдено до нас" ...

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group