Испарение капли

[Omega]

Очень хочу разобраться в такой вот задаче:
В общем: имеется капля воды радиусом $r_{0}$ ,находящаяся в атмомсфере воздуха с относительной влажностью $\varphi$ при температуре $T$.
Плотность воды - $\rho_{0}$ ; плотность насыщенного пара - $\rho_{\text{п}}$. Коэффициент диффузии пара - $D$.

Итак,очевидно, что скорость изменения массы капли

$$\dfrac{\partial M}{\partial t}=\rho_{0}\dfrac{4 \pi}{3} r^{2} \dfrac{\partial r}{\partial t}=j=-4 \pi D r^{2} \dfrac{\partial n_{\text{п}}}{\partial x}$$

Где $\dfrac{\partial n_{\text{п}}}{\partial x}$ - градиент концентрации пара у поверхности капли. Чтобы продолжить далее свои рассуждения я хотел бы уточнить: следует ли каким бы то ни было способом учитывать выше влияние окружающей каплю среды? То есть учесть, что на каплю, например, снова могут попасть некоторые молекулы воды; ну или же то, что движущиеся молекулы воздуха будут как-то "мешать" диффундирующим молекулам воды?
И ещё один вопрос: я что-то никак не пойму почему в решении подобной задачи у Сивухина, как факт положено, что пар из воздуха никак не конденсируется на капле?
Всем заранее спасибо.

[DimaM]

Omega в сообщении #860179 писал(а):

движущиеся молекулы воздуха будут как-то "мешать" диффундирующим молекулам воды

Это учтено в коэффициенте диффузии.

Omega в сообщении #860179 писал(а):

я что-то никак не пойму почему в решении подобной задачи у Сивухина, как факт положено, что пар из воздуха никак не конденсируется на капле

Сдается мне, что при учете этого задачка получится слишком сложной для решения.

Еще не учитывается зависимость плотности насыщенного пара от радиуса капли и от скорости испарения, скорее всего, по той же причине. Ну и поле концентраций на деле нестационарно.

[Pyotr_]

Известно, что режим роста (испарения) капли зависит от ее размера, в частности, для капель, размер которых много меньше средней длины свободного пробега молекул, никакого коэффициента диффузии в уравнении не будет, зато появится т.н. коэффициент конденсации. Поэтому странной является постановка задачи в общем виде без оговорок относительно диапазона изменения размера капли.

[DimaM]

Pyotr_ в сообщении #860205 писал(а):

Поэтому странной является постановка задачи в общем виде без оговорок относительно диапазона изменения размера капли.

Так учебная задача. Поставлена в таком виде, чтоб студент был способен решить.

[Pyotr_]

DimaM в сообщении #860209 писал(а):

Pyotr_ в сообщении #860205 писал(а):

Поэтому странной является постановка задачи в общем виде без оговорок относительно диапазона изменения размера капли.

Так учебная задача. Поставлена в таком виде, чтоб студент был способен решить.

Я не вижу постановки задачи, т. к. неясно, что требуется найти. Зачем писать о градиенте концентрации на поверхности капли, если он неизвестен, а если известен, то чему равен и т. д.

[Omega]

Pyotr_, DimaM,спасибо.

Теперь

$$\dfrac{\partial n_{\text{п}}}{\partial t}=D \dfrac{\partial^{2} n_{\text{п}}}{\partial x^{2}} $$

Дальше я не совсем понимаю, почему $\dfrac{\partial n_{\text{п}}}{\partial t}=0$ в приближении, что процесс испарения равновесный?

[DimaM]

Omega в сообщении #860216 писал(а):

Дальше я не совсем понимаю, почему $\dfrac{\partial n_{\text{п}}}{\partial t}=0$ в приближении, что процесс испарения равновесный?

Считается, что установление концентрации происходит гораздо быстрее изменения размера капли. Что-нибудь в духе $\dfrac{\partial r}{\partial t}\ll \dfrac{D}{r}.$

[Omega]

То есть получается

$$\dfrac{\partial j}{\partial t}=0 \Rightarrow n_{\text{п}}(x)=\dfrac{j}{4\pi D x}+n_{\infty}$$

Остаётся понять чему равна концентрация пара прямо над поверхностью капли: $n_{\text{п}}(r)=...$?

[druggist]

Omega в сообщении #860179 писал(а):

И ещё один вопрос: я что-то никак не пойму почему в решении подобной задачи у Сивухина, как факт положено, что пар из воздуха никак не конденсируется на капле?

Какой-то странный вопрос, если у Вас задан "градиент концентрации пара у поверхности капли", то, следовательно, автоматически задана разность между числом конденсирующихся на капле и испаряющихся с капли молекул.

[DimaM]

Omega в сообщении #860227 писал(а):

Остаётся понять чему равна концентрация пара прямо над поверхностью капли: $n_{\text{п}}(r)=...$?

Думаю, предполагается, что вблизи капли пар насыщенный (скорее всего, без учета кривизны).

-- 08.05.2014, 09:18 --

druggist в сообщении #860235 писал(а):

задан "градиент концентрации пара у поверхности капли"

Насколько я понял из объяснений автора темы, этот градиент как раз нужно найти.

[Omega]

DimaM в сообщении #860437 писал(а):

Думаю, предполагается, что вблизи капли пар насыщенный (скорее всего, без учета кривизны).

Вот это как раз-таки мне и не понятно, почему насыщенный?

[DimaM]

Omega в сообщении #860487 писал(а):

почему насыщенный?

При медленном испарении процесс почти равновесный, вот и получается почти насыщенный.

[Omega]

Хорошо. Тогда проверьте пожалуйста на верность следующее. Спасибо.
По формуле Томсона, давление пара над поверхностью капли:

$$n_{\text{п}}(r)=\dfrac{\rho_{\text{п}}}{kT} \left ( \dfrac{R T}{\mu}+\dfrac{2 \sigma}{\rho_{0} r} \right)$$

Также:

$$n_{\infty}=\dfrac{\varphi \rho_{\text{п}} N_{A}}{\mu} \Rightarrow \left \dfrac{\partial n_{\text{п}}}{\partial x} \right|_{x=r} =\dfrac{n_{\infty}-n_{\text{п}}(r)}{r} \Rightarrow \dfrac{\partial M}{\partial t}=\dfrac{4 \pi \mu D}{N_{A}} \keft (n_{\text{п}}-n_{\infty}}(r)\tight)$$

Окончательно получается как-то так:

$$-r \dfrac{\partial r}{\partial t}=a+\dfrac{b}{r};a=(1-\varphi)\dfrac{ \rho_{\text{п}}}{ \rho_{0}}D;b=\dfrac{2\sigma \rho_{\text{п}} \mu}{ \rho_{0}^{2} R T}; $$

[DimaM]

Omega в сообщении #860643 писал(а):

По формуле Томсона, давление пара над поверхностью капли:

Я бы второе слагаемое в скобках выкинул. Во-первых, оно обычно маленькое по сравнению с первым. Во-вторых, формула все равно неверная, потому что $\rho_\mbox{п}$ и $n_\mbox{п}$ взаимосвязаны, $\rho_\mbox{п}=mn_\mbox{п}$ ($m$ - масса молекулы).