Параллелепипед

[Terraniux]

Прямоугольный параллелепипед разбит на меньшие прямоугольные параллелепипеды. У каждого из малых параллелепипедов есть грань целой площади. Обязательно ли у большого параллелепипеда будет грань целой площади?

[mishafromusa]

Да, это трёхмерный вариант задачи о разрезании прямоугольника, которая обсуждалась вот тут: http://potap.livejournal.com/398991.html

[venco]

mishafromusa в сообщении #860075 писал(а):

Да.

Нет.

mishafromusa в сообщении #860075 писал(а):

это трёхмерный вариант задачи о разрезании прямоугольника, которая обсуждалась вот тут: http://potap.livejournal.com/398991.html

Если бы в этой задаче были целые длины рёбер, то она была бы аналогична той. Но у нас здесь целые площади граней.

[mishafromusa]

Извините, ошибся.

[ivvan]

Чего-то я не понимаю.

http://potap.livejournal.com/398991.html писал(а):

Лемма: Прямоугольник имеет целую сторону тогда и только тогда, когда интеграл по нему от функции $\sin(2\pi x)\sin(2\pi y)$ равен нулю.

Прямоугольник $[-\pi;\pi]\times[-\pi;\pi]$ имеет целую сторону? Чему равен интеграл по нему?

[ex-math]

Давайте заменим функцию на $e^{2\pi i(x+y)}$.

[mishafromusa]

Давайте возьмём параллелепипед с рёбрами $1, \sqrt 2, 1+\sqrt 2$ и разрежем его плоскостью $y=1$ на два. Тогда у каждого из меньших параллелепипедов будет грань с целой плошадью, а площадь ни одной из граней большого параллеллепипеда целой не будет, так что заслуженный товарищ прав

[Terraniux]

mishafromusa в сообщении #860855 писал(а):

Давайте возьмём параллелепипед с рёбрами $1, \sqrt 2, 1+\sqrt 2$ и разрежем его плоскостью $y=1$ на два. Тогда у каждого из меньших параллелепипедов будет грань с целой плошадью, а площадь ни одной из граней большого параллеллепипеда целой не будет, так что заслуженный товарищ прав

(Оффтоп)

Интересно, сильная ли наркомания получится, если в условии "целый" заменить на "алгебраический"?

[venco]

$1 \times \left(1+\frac1{\pi}\right) \times \pi$

[Munin]

Агафон Потапов в http://potap.livejournal.com/398991.html писал(а):

О разрезании прямоугольников

Рассказали сегодня задачу с решением чрезвычайной красоты.
Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, у каждого из которых хотя бы одна сторона имеет целую длину. Доказать, что хотя бы одна сторона всего прямоугольника -- целая.

Лемма: Прямоугольник имеет целую сторону тогда и только тогда, когда интеграл по нему от функции sin(2πx)sin(2πy) равен нулю.

У меня не сходится.

Интерпретация 1: в лемме подразумевается прямоугольник, отложенный одним углом от начала координат (ориентированный по осям координат, очевидно). Тогда лемма верна, но из леммы не следует задача (или следует с какими-то неочевидными рассуждениями).

Интерпретация 2: в лемме подразумевается прямоугольник, отложенный в произвольном месте (также ориентированный по осям координат, очевидно). Тогда лемма неверна.

ex-math в сообщении #860845 писал(а):

Давайте заменим функцию на $e^{2\pi i(x+y)}$.

Не поможет.

-- 09.05.2014 23:02:17 --

Боюсь, в решении ошибка, связанная с путаницей между "интерпретацией 1" и "интерпретацией 2".

[Terraniux]

Munin в сообщении #861086 писал(а):

У меня не сходится.

Интерпретация 1: в лемме подразумевается прямоугольник, отложенный одним углом от начала координат (ориентированный по осям координат, очевидно). Тогда лемма верна, но из леммы не следует задача (или следует с какими-то неочевидными рассуждениями).

Интерпретация 2: в лемме подразумевается прямоугольник, отложенный в произвольном месте (также ориентированный по осям координат, очевидно). Тогда лемма неверна.

(Оффтоп)

Как понимаю, это связано с тем, что целая сторона может иметь какие угодно координаты концов, или нет?

[Munin]

Нуда.

[venco]

Munin в сообщении #861086 писал(а):

ex-math в сообщении #860845 писал(а):

Давайте заменим функцию на $e^{2\pi i(x+y)}$.

Не поможет.

Поможет.
Интерпретация 2.

[Terraniux]

Нужна функция, равная произведению цельно-периодических по разным координатам, чтобы интеграл был 0?

А как можно исходную (с площадями) задачу усложнить? Или обобщить плоскую?

[Munin]

venco в сообщении #861121 писал(а):

Поможет.
Интерпретация 2.

Хм, да. Я плохо посчитал.

Terraniux в сообщении #861125 писал(а):

Нужна функция, равная произведению цельно-периодических по разным координатам, чтобы интеграл был 0?

Нужен функционал со следующими свойствами:
- принимает 0 на линиях целой сетки;
- нечувствителен к сдвигу на произвольный вектор;
- функционал на сумме прямоугольников равен сумме функционалов на прямоугольниках.
Интегралом он быть не обязан. Хотя интеграл моментально даёт третье свойство.