Проекция на касательное подпространство.

[kp9r4d]

Покажите, что ортогональная проекция гладкой $k$-мерной поверхности $S \subset \mathbb{R}^n$ на касательную к ней в точке $x_0 \in S$ $k$-мерную плоскость $TS_{x_0}$ является отображением, взаимно однозначным в некоторой окрестности точки касания $x_0$.
Пусть $x(t) : \mathbb{R}^k \to S$ — канонический диффеоморфизм $\mathbb{R}^k$ на окрестность точки $x_0 \in S$.
Если $P$ проектор на подпространство, то тогда дифференциал $P(x(t))$ запишется как $P^{'}(x_0)x^{'}(0)$ и будет иметь ранг $k$. Но как это использовать можно?

[svv]

Скажите, а что значит, что диффеоморфизм — канонический?

(Вы, наверное, решили задачу уже?)

[kp9r4d]

svv
Нет, на этой неделе не удалось позаниматься математикой в той мере, в какой и обычно, поэтому не решил и буду рад любой помощи.
У меня определение многообразия такое:
Множество $S \subset \mathbb{R}^n$ будем называть $k$-мерной гладкой поверхностью в пространстве $\mathbb{R}^n$, если для любой точки $x_0 \in S$ найдется окрестность $U(x_0)$ в $\mathbb{R}^n$ и диффеоморфизм $\varphi : U(x_0) \to I^n$ этой окрестности на стандартный $n$-мерный промежуток $I^n = \{ t \in \mathbb{R}^n | |t^i| < 1, i = 1, ... , n \}$ пространства $\mathbb{R}^n$ при которой образ $S \cap U(x_0)$ совпадает с лежащей в $I$ частью $k$-мерной гладкой плоскости пространства $\mathbb{R}^n$, задаваемой соотношениями $t^{k+1}=0,...,t^n=0$.
Вот диффеоморфизм $\varphi^{-1}$ я и назвал, почему-то, каноническим. При том мне показалось удобнее, если он будет отображать не из промежутка в $S$, а из $\mathbb{R}^k$ в $S$ (что, впрочем, одно и то же).