2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выражение, содержащее корни. Равносильность. ОДЗ.
Сообщение05.05.2014, 19:07 


08/03/14
86
Добрый вечер! Прошу помочь с решением, а самое главное - с пониманием.
Дано выражение, которое нужно упростить:
$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}+\frac{2a\sqrt{a^2-b^2}}{b^2(ab^{-1}+1)^2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1-ba^{-1}}{1+ba^{-1}}}$
Есть два пути. Первый - сразу искать ОДЗ выражения, после чего спокойно преобразовывать его, оставаясь в рамках этой ОДЗ. Второй - начать преобразования, следя за равносильностью переходов и указывая соответствующие условия. Правильно ли я понимаю?
Я пошёл по второму пути.
Получил:
$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}+\frac{2a\sqrt{a^2-b^2}}{b^2(\frac{a^2}{b^2}+2\frac{a}{b}+1)}\cdot\frac{1}{\frac{2}{1+ba^{-1}}}$
Пока всё равносильно?
Далее вводим ограничения: $b\neq0$ и $\frac{2}{1+ba^{-1}}\neq0$
Из второго получил, что $a\neq0$ и $a\neq-b$
Продолжаем упрощать, получаем:
$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}+\frac{2a\sqrt{a^2-b^2}}{(a+b)^2}\cdot\frac{a+b}{2a}$

Учитывая, что $a\neq0$ и $a\neq-b$, получаем:
$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$
Т.к. $a\neq-b$
$\sqrt{\frac{{a^2-b^2}}{(a+b)^2}}+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$
В итоге получаем выражение:
$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{|a+b|}+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$
Которое нам надо рассмотреть при двух случаях:
1)
$a-b\geqslant0$
$a+b>0$
2)
$a-b\leqslant0$
$a+b<0$

В итоге получаем, что исходное выражение равно
1) $2\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$ при $a-b\geqslant0$, $a+b>0$, $a\neq0$, $b\neq0$, $a\neq-b$
2) $0$ при $a-b\leqslant0$, $a+b<0$, $a\neq0$, $b\neq0$, $a\neq-b$
Правильно ли я решил? Можно ли как-то покомпактней записать условия?

(Оффтоп)

Вообще, этот пример заставил меня задуматься. Я всегда считал свою мат. подготовку неплохой(для обычной, непрофильной школы). А сейчас, когда мне пришлось, в силу ряда обстоятельств, освежать в памяти школьный курс, я понял, что вся моя "подготовка" сводилась к тупым однообразным преобразованиям выражений, в процессе которых никто не заставлял меня задуматься о равносильности и о том, что вообще происходит, когда я применяю формулы и пишу знаки равенства. Насколько я помню, такие вопросы практически не прорабатывались в моей школе. Или я сам перемудрил сейчас?
P.S. Извиняюсь, если плохо сверстал, пока только осваиваю Tex.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение, содержащее корни. Равносильность. ОДЗ.
Сообщение05.05.2014, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Можно изобразить на координатной плоскости четыре области, в которых разворачиваются события. Они ограничены биссектрисами координатных углов и не содержат осей. Ну можно их немного по-другому записать, например, первое: $a> 0;b\ne 0; -a<b\leqslant a$
Тут главное следить за границами и внутренними исключениями.
Такие задачи бывают, и Вы правильно рассуждали. Можно сразу (или после чернового решения) выделить области не только ОДЗ, но и подобласти, где можно обходиться без модулей, хотя это чисто оформительские привычки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение, содержащее корни. Равносильность. ОДЗ.
Сообщение05.05.2014, 20:55 


05/09/12
2587
Я бы пошел по первому пути, обозначенному вами. Но независимо от этого про область определения при упрощении выражений следует помнить. Хотя, бывают и другие мнения - пример короткой темы с этого форума

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение, содержащее корни. Равносильность. ОДЗ.
Сообщение05.05.2014, 23:03 


08/03/14
86
gris, спасибо большое! Завтра на свежую голову попробую расписать так, как Вы подсказали.

Еще один вопрос, не по данному примеру, но по данной теме.
Допустим, дано выражение
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}$
ОДЗ: $x\geqslant0$, $y\geqslant0$
Преобразовывая это выражение, я могу сделать так:
$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$, так как это верно на ОДЗ.

А вот, к примеру, такое выражение:
$\sqrt{xy}+2$
ОДЗ: имеется четыре варианта развития событий:)
1)$x>0$, $y>0$
2)$x<0$, $y<0$
3)$x=0$, $y\in R$
4)$y=0$, $x\in R$
Здесь, если я хочу выполнить преобразование $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$, мне необходимо расписать это отдельно для каждого из четырех случаев, причем выполняться оно будет только для $x\geqslant0$, $y\geqslant0$.
То есть полностью равносильно полученное выражение исходному не будет, а только на части ОДЗ. Правильно излагаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение, содержащее корни. Равносильность. ОДЗ.
Сообщение05.05.2014, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Healer в сообщении #859593 писал(а):
Правильно излагаю?

Совершенно верно. Каждое свойство корня (логарифма, тангенса...) выполняется при определенных ограничениях на аргументы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение, содержащее корни. Равносильность. ОДЗ.
Сообщение07.05.2014, 08:49 


08/03/14
86
provincialka, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group