Выражение, содержащее корни. Равносильность. ОДЗ.

[Healer]

Добрый вечер! Прошу помочь с решением, а самое главное - с пониманием.
Дано выражение, которое нужно упростить:
$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}+\frac{2a\sqrt{a^2-b^2}}{b^2(ab^{-1}+1)^2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1-ba^{-1}}{1+ba^{-1}}}$
Есть два пути. Первый - сразу искать ОДЗ выражения, после чего спокойно преобразовывать его, оставаясь в рамках этой ОДЗ. Второй - начать преобразования, следя за равносильностью переходов и указывая соответствующие условия. Правильно ли я понимаю?
Я пошёл по второму пути.
Получил:
$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}+\frac{2a\sqrt{a^2-b^2}}{b^2(\frac{a^2}{b^2}+2\frac{a}{b}+1)}\cdot\frac{1}{\frac{2}{1+ba^{-1}}}$
Пока всё равносильно?
Далее вводим ограничения: $b\neq0$ и $\frac{2}{1+ba^{-1}}\neq0$
Из второго получил, что $a\neq0$ и $a\neq-b$
Продолжаем упрощать, получаем:
$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}+\frac{2a\sqrt{a^2-b^2}}{(a+b)^2}\cdot\frac{a+b}{2a}$

Учитывая, что $a\neq0$ и $a\neq-b$, получаем:
$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$
Т.к. $a\neq-b$
$\sqrt{\frac{{a^2-b^2}}{(a+b)^2}}+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$
В итоге получаем выражение:
$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{|a+b|}+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$
Которое нам надо рассмотреть при двух случаях:
1)
$a-b\geqslant0$
$a+b>0$
2)
$a-b\leqslant0$
$a+b<0$

В итоге получаем, что исходное выражение равно
1) $2\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$ при $a-b\geqslant0$, $a+b>0$, $a\neq0$, $b\neq0$, $a\neq-b$
2) $0$ при $a-b\leqslant0$, $a+b<0$, $a\neq0$, $b\neq0$, $a\neq-b$
Правильно ли я решил? Можно ли как-то покомпактней записать условия?

(Оффтоп)

Вообще, этот пример заставил меня задуматься. Я всегда считал свою мат. подготовку неплохой(для обычной, непрофильной школы). А сейчас, когда мне пришлось, в силу ряда обстоятельств, освежать в памяти школьный курс, я понял, что вся моя "подготовка" сводилась к тупым однообразным преобразованиям выражений, в процессе которых никто не заставлял меня задуматься о равносильности и о том, что вообще происходит, когда я применяю формулы и пишу знаки равенства. Насколько я помню, такие вопросы практически не прорабатывались в моей школе. Или я сам перемудрил сейчас?
P.S. Извиняюсь, если плохо сверстал, пока только осваиваю Tex.

[gris]

Можно изобразить на координатной плоскости четыре области, в которых разворачиваются события. Они ограничены биссектрисами координатных углов и не содержат осей. Ну можно их немного по-другому записать, например, первое: $a> 0;b\ne 0; -a<b\leqslant a$
Тут главное следить за границами и внутренними исключениями.
Такие задачи бывают, и Вы правильно рассуждали. Можно сразу (или после чернового решения) выделить области не только ОДЗ, но и подобласти, где можно обходиться без модулей, хотя это чисто оформительские привычки.

[_Ivana]

Я бы пошел по первому пути, обозначенному вами. Но независимо от этого про область определения при упрощении выражений следует помнить. Хотя, бывают и другие мнения - пример короткой темы с этого форума

[Healer]

gris, спасибо большое! Завтра на свежую голову попробую расписать так, как Вы подсказали.

Еще один вопрос, не по данному примеру, но по данной теме.
Допустим, дано выражение
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}$
ОДЗ: $x\geqslant0$, $y\geqslant0$
Преобразовывая это выражение, я могу сделать так:
$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$, так как это верно на ОДЗ.

А вот, к примеру, такое выражение:
$\sqrt{xy}+2$
ОДЗ: имеется четыре варианта развития событий:)
1)$x>0$, $y>0$
2)$x<0$, $y<0$
3)$x=0$, $y\in R$
4)$y=0$, $x\in R$
Здесь, если я хочу выполнить преобразование $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$, мне необходимо расписать это отдельно для каждого из четырех случаев, причем выполняться оно будет только для $x\geqslant0$, $y\geqslant0$.
То есть полностью равносильно полученное выражение исходному не будет, а только на части ОДЗ. Правильно излагаю?

[provincialka]

Healer в сообщении #859593 писал(а):

Правильно излагаю?

Совершенно верно. Каждое свойство корня (логарифма, тангенса...) выполняется при определенных ограничениях на аргументы.

[Healer]

provincialka, спасибо!