int( dt/(exp(t^2)+a) , t=0..infinity ) ?

[bme]

В работе встретился такой параметрический интеграл:
$ \int_0^\infty \frac{dt}{\exp(t^2)+a}, \; a\ge 0$.

Замены переменного ничего не дали, также как и дифференцирование по параметру, также как и обращение к системам символьной алгебры (Maple).

Тем не менее, интеграл - хорошо сходящийся при всех a, при a=0 равен известному значению ($\sqrt{\pi}/2$), в общем, явно должен как-то выражаться через спецфункции... Но как - пока ума не приложу...

Может у кого-то будут мысли, как к нему подступиться ?
Может есть какие-то регулярные методы на сей счет, но не излагаемые в обычных институтских курсах ?

[Ms-dos4]

По определению полилогарифма $\[L{i_s}(z) = \frac{1}{{\Gamma (s)}}\int\limits_0^\infty {\frac{{{t^{s - 1}}}}{{\frac{{{e^t}}}{z} - 1}}} dt\]$. В вашем интеграле делаем замену $\[{t^2} = \xi \]$(приведя его к виду выше) и получим результат $\[ - \frac{{\sqrt \pi }}{{2a}}{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _{\frac{1}{2}}}( - a)\]$.
P.S.Кстати, я не знаю как вы у систем компьютерной алгебры спрашивали (видимо, просто неправильно "попросили"), но Mathematica даёт такой же ответ (и уж уверен, что и Maple справится).

[bme]

Ms-dos4 в сообщении #858718 писал(а):

По определению полилогарифма $\[L{i_s}(z) = \frac{1}{{\Gamma (s)}}\int\limits_0^\infty {\frac{{{t^{s - 1}}}}{{\frac{{{e^t}}}{z} - 1}}} dt\]$. В вашем интеграле делаем замену $\[{t^2} = \xi \]$(приведя его к виду выше) и получим результат $\[ - \frac{{\sqrt \pi }}{{2a}}{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _{\frac{1}{2}}}( - a)\]$.
P.S.Кстати, я не знаю как вы у систем компьютерной алгебры спрашивали (видимо, просто неправильно "попросили"), но Mathematica даёт такой же ответ (и уж уверен, что и Maple справится).

Спасибо! Да, все просто оказалось. Кстати, Вы не перепутали в определении полилогарифма, там кажется должно быть $z e^t$ вместо $\frac{e^t}{z}$?

Что касается Maple, то как ни странно, функция полилогарифма в нем есть, и для целых s он вычисляет интегралы типа $\int_0^\infty u^n/(a\exp(u)+1)$, выражая их через полилогарифмы, но для дробных s - уже нет!

Более того, при попытке ввести определение полилогарифма в качестве интеграла (причем с ограничением, что |x|<1 и x - действительное число) - Maple (Maple 17) выдает некое страшное выражение + полилогарифм вместо самого полилогарифма!

P.S: интересно, а свободные CAS - системы типа maxima - справились бы с этим интегралом ? Спрашиваю, поскольку использую в работе Maple (для символьных вычислений и проверок некоторых численных подпрограмм на фортране) и Fortran (для численных вычислений), и если уж использовать что-то дополнительное, то хотелось бы, чтобы бесплатное и относительно легко изучаемое...

[Ms-dos4]

bme
1)Не перепутал
2)Ставьте Mathematica 9