2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Однородный обруч
Сообщение08.05.2014, 22:01 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
По поводу $\vec A(\alpha)$. Пусть скорость центра масс $v$. Тогда скорость нити в точке соприкосновения $v\vec u(\alpha)$.
Согласно требованию энергетического баланса $$fv\vec u(\alpha)\vec n=d/dt(Kv^2/2),$$$$dv/dt=\frac{f\vec u(\alpha)\vec n}{K}$$
При $v=0$ центрострострем. ускорения нет, поэтому $$\vec A(\alpha)=\frac{M}{K}(\vec u(\alpha),\vec n)(1+\sin\alpha,-\cos\alpha)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородный обруч
Сообщение09.05.2014, 11:05 


01/12/06
463
МИНСК
Нашел ошибку. Забыл $s$ добавить к $x$-овой координате.
Координаты точки с массой:
$$x=s+r \cos\alpha+l \sin\alpha,y=r \sin\alpha-l \cos\alpha$$
где $l=l_0+s+r\alpha$ - длина нити от точки касания до точки с массой.
Дифференцируя находим,
$$\dot x=\dot s-r \dot\alpha \sin\alpha+\dot l \sin\alpha+l \dot\alpha \cos\alpha=\dot s+\dot s \sin\alpha+l \dot\alpha \cos\alpha, \\
\dot y=r \dot\alpha \cos\alpha-\dot l \cos\alpha+l \dot\alpha \sin\alpha=-\dot s \cos\alpha+l \dot\alpha \sin\alpha$$
Таким образом, кинетическая энергия системы равна ( в предположении, что движение идет без проскальзывания)
$$T=M \dot s^2+m\frac{\dot x^2+\dot y^2}{2}=M \dot s^2+m\frac{\dot s^2+l^2 \dot \alpha^2}{2}+\frac{m}{2}\dot s^2+m \dot s^2 \sin\alpha+m \dot s l \dot\alpha \cos\alpha $$

-- Пт май 09, 2014 12:55:46 --

Далее, уже без подробностей

$$\ddot s(0)=-\frac{g m \cos \alpha +g m \sin \alpha \cos \alpha}{-2 m \sin \alpha +m
   \cos ^2 \alpha -2 m-2 M}$$

$$\ddot \alpha(0)=\frac{\cos \alpha  (g m \cos \alpha +g m \sin \alpha  \cos \alpha )}{l
   \left(-2 m \sin \alpha +m \cos ^2 \alpha -2 m-2 M\right)}-\frac{g \sin \alpha
   }{l}$$

В итоге ответ совпадает с ответом, приведенным выше

$$k_{min}=-\frac{2 m (\sin \alpha-1) \cos \alpha}{4 m \sin \alpha+m \cos 2 \alpha +5
   m+4 M}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородный обруч
Сообщение09.05.2014, 12:03 


10/02/11
6786
Можно поставить и еще один вопрос . Возможно ли движение при котором центр диска движется равноускоренно, и угол наклона нити постоянен? Проскальзывания нет. (Вроде бы я где-то такую задачу уже предлагал)

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородный обруч
Сообщение09.05.2014, 12:36 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Такая задача известна. Небольшое обобщение можно получить, заставив катиться диск по наклонной поверхности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group