Общий интеграл уравнений движения. Теорема Якоби.

[Katmandu]

Общий интеграл уравнений движения имеет вид:

$$ S = a_1t + a_2\varphi + e_1 \int \sqrt {2m(\Gamma(r) - a_1) - \frac {a_3^2} {r^2} } dr + e_2 \int \sqrt {a_3^2 - \frac {a_2^2} {\sin ^2 \vartheta} } d\vartheta$$

.


Нужно показать, что эта функция удовлетворяет условиям теоремы Якоби. Нужно применить эту теорему для нахождения общего интеграла уравнения движения материальной точки в центральном поле.

Более полная информация насчет этой функции в документе http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/babadzhanyants/publ/publ35.pdf на странице 171.

Я нашел много теорем Якоби, которые мало понятны и сформулированы по - разному.
В ссылке на документ теорема Якоби звучит:

Если $D \subset R^{2n+1} $ - область, а $S(t,q,a) \in C^2(D)$ - полный интеграл вида $ S = S(t, q_1,...,q_n,a_1,...,a_n) + a_{n+1}$ уравнения $ \frac {\partial S} {\partial t} + H(q_1, ... , q_n, \frac {\partial S} {\partial q_1}, ... ,\frac {\partial S} {\partial q_n} , t ) = 0 $, удовлетворяющий условию $ \det \left( \frac {\partial ^2 S} {\partial q_i \partial a_k} \right) | _{i,k = 1} ^n \neq 0, (t,q,a) \in D$ , то существует такая область $D' \subset D \times R^n$, что равенства $ p = \frac {\partial S} {\partial q} , b = \frac {\partial S} {\partial a} , (t,q,a,b) \in D'$ представляют собой $2n$ независимых интегралов канонических уравнений $\frac {dq_i} {dt} = \frac {\partial H} {\partial p_i}, \frac {dp_i} {dt} = -\frac {\partial H} {\partial q_i}, i \in [1:s]$, где $b = (b_1, ... , b_n)$, как и $a = (a_1, ... , a_n)$ произвольные постоянные. Теорема также есть в документе на стр. 164.

Подскажите, как применить эту теорему к данной выше функции.

[Oleg Zubelevich]

Вы что такое производящая функция понимаете?

Если выполнено условие

Katmandu в сообщении #858337 писал(а):

овию $ \det \left( \frac {\partial ^2 S} {\partial q_i \partial a_k} \right) | _{i,k = 1} ^n \neq 0, (t,q,a) \in D$

то уравнения

Katmandu в сообщении #858337 писал(а):

тва $ p = \frac {\partial S} {\partial q} , b = \frac {\partial S} {\partial a} , (t,q,a,b) \in D'$

задают каноническую замену координат $(p,q)\mapsto (a,b)$ такую, что в новых координатах мы получаем систему с гамильтонианом тождественно равным нулю. Замена координат зависит от времени.
Ищите множество на котором определитель не равен нулю.

[Katmandu]

Нужно посчитать

$$\det \left( \frac {\partial S} {\partial q_i \partial a_k} \right) |_{i,k = 1} ^ n $$

В общем интеграле уравнений движения явно видно $a_1, a_2, a_3$, и видимо $ r = \sqrt {q_1^2 + q_2^2 + q_3^2} $ .. Непонятно как брать частную производную от этого всего дела.. особенно производную от потенциала $\Gamma(r)$

-- 03.05.2014, 12:27 --

Тут же используется сферическая система координат.. значит $q_1 = r, q_2 = \varphi, q_3 = \vartheta$ , все равно не ясно как брать производную от потенциала $\Gamma(r)$ по $r$

-- 03.05.2014, 12:39 --

Если рассмотреть

$$ M = e_1 \int \sqrt {2m(\Gamma(r) - a_1) - \frac {a_3^2} {r^2} } dr $$

то непонятно как брать $\frac {\partial M} { \partial r} $

[Katmandu]

$$ S = a_1t + a_2\varphi + e_1 \int \sqrt {2m(\Gamma(r) - a_1) - \frac {a_3^2} {r^2} } dr + e_2 \int \sqrt {a_3^2 - \frac {a_2^2} {\sin ^2 \vartheta} } d\vartheta $$

И пусть

$$ M = \sqrt {2m(\Gamma(r) - a_1) - \frac {a_3^2} {r^2} } $$

$$ N = \sqrt {a_3^2 - \frac {a_2^2} {\sin ^2 \vartheta} } $$

Тогда

$$ S = a_1t + a_2\varphi + e_1 \int M dr + e_1 \int N d\vartheta $$

$$ \frac {\partial S} {\partial \varphi} = a_2 $$

$$ \frac {\partial S} {\partial r} = e_1 M $$

$$ \frac {\partial S} {\partial \vartheta} = e_2 N $$

$$ \frac {\partial ^2 S} {\partial \varphi \partial a_1} = 0 , \frac {\partial ^2 S} {\partial \varphi \partial a_2} = 1, \frac {\partial ^2 S} {\partial \varphi \partial a_3} = 0 $$

$$ \frac {\partial ^2 S} {\partial r \partial a_1} = -\frac {m} {M} , \frac {\partial ^2 S} {\partial r \partial a_2} = 0, \frac {\partial ^2 S} {\partial r \partial a_3} = - \frac {a_3} {r^2 N} $$

$$ \frac {\partial ^2 S} {\partial \vartheta \partial a_1} = 0 , \frac {\partial ^2 S} {\partial \vartheta \partial a_2} = -\frac {a_2} {M \sin^2\vartheta} , \frac {\partial ^2 S} {\partial \vartheta \partial a_3} = \frac {a_3} {M} $$

-- 03.05.2014, 15:14 --

Должно выполняться условие.

$$ \det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -\frac {m} {M} & 0 & - \frac {a_3} {r^2 N} \\ 0 & \frac {a_2} {M \sin^2\vartheta} & \frac {a_3} {M} \end{pmatrix} \neq 0 $$

[Katmandu]

Каким образом показать что условия выполнятся. что обозначают $a_1, a_2, a_3$

-- 03.05.2014, 18:31 --

$$ \frac {\partial ^2 S} {\partial \varphi \partial a_1} = 0 , \frac {\partial ^2 S} {\partial \varphi \partial a_2} = 1, \frac {\partial ^2 S} {\partial \varphi \partial a_3} = 0 $$

$$ \frac {\partial ^2 S} {\partial r \partial a_1} = -\frac {e_1m} {M} , \frac {\partial ^2 S} {\partial r \partial a_2} = 0, \frac {\partial ^2 S} {\partial r \partial a_3} = - \frac {e_1a_3} {r^2 M} $$

$$ \frac {\partial ^2 S} {\partial \vartheta \partial a_1} = 0 , \frac {\partial ^2 S} {\partial \vartheta \partial a_2} = -\frac {e_2a_2} {N \sin^2\vartheta} , \frac {\partial ^2 S} {\partial \vartheta \partial a_3} = \frac {e_2a_3} {N} $$

Условие

$$ \det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -\frac {e_1m} {M} & 0 & - \frac {e_1a_3} {r^2 M} \\ 0 & \frac {e_2a_2} {N \sin^2\vartheta} & \frac {e_2a_3} {N} \end{pmatrix} = \frac { e_1 e_2 m a_3} {MN} \neq 0 $$

-- 03.05.2014, 18:39 --

[Katmandu]

Не зная что такое a_i, можно сделать выводы:
$ a_3 \neq 0, M \neq 0, N \neq 0$ откуда можно сделать следующие выводы

Рассмотрим N. Тогда $ \vartheta \neq \pi n$
$ a_1 , a_2 $ не должны одновременно равняться нулю.
Если $\vartheta = \frac {\pi}{2} + 2\pi n$ , то $a_2 \neq a_3$

-- 03.05.2014, 19:28 --

Можно рассмотреть и $M$, там $r \neq 0$ , и можно также что нибудь придумать для $a_1, a_3$...

Можно сказать множество на котором определитель не равен нулю найден. Но не понятно, что за $a_i$

-- 03.05.2014, 19:28 --

И не ясно какой шаг следующий

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

ну не знаю, может другие участники форума, вдалбливать гамильтонов формализм человеку, который не знает, что такое первообразная , я не решаюсь. Да, собственно, все необходимое уже проговорено

[Katmandu]

Oleg Zubelevich в сообщении #858642 писал(а):

(Оффтоп)

ну не знаю, может другие участники форума, вдалбливать гамильтонов формализм человеку, который не знает, что такое первообразная , я не решаюсь. Да, собственно, все необходимое уже проговорено

[Katmandu]

Katmandu в сообщении #858720 писал(а):

ну не знаю, может другие участники форума, вдалбливать гамильтонов формализм человеку, который не знает, что такое первообразная , я не решаюсь. Да, собственно, все необходимое уже проговорено

Теперь я знаю, что такое первообразная http://dxdy.ru/post858763.html#p858763, можно вдалбливать гамильтонов формализм.