В треугольнике ABC проведены биссектрисы BQ и CL

[Участник1]

В треугольнике ABC (AB>AC) проведены биссектрисы BQ и CL, при этом точка их пересечения I оказалась лежащей на одной окружности с точками A, Q и L. Отрезок AI продолжен до пересечения со стороной BC в точке P и с окружностью, описанной около треугольника ABC, в точке N. Около треугольника BPN была описана окружность, пересекающая сторону AB в точке K. Точки касания вписанной в треугольник ABC окружности со сторонами AB, BC и AC обозначены соответственно через C1, A1 и B1. Известно, что BK = 13, C1B = 28. Найти B1C , а также радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений двух других сторон треугольника ABC.

Расскажите хотя бы примерные рассуждения для решения.

[Brukvalub]

Для начала найдите величину угла ВАС.

[Участник1]

Хм, как же её найти?..

[Brukvalub]

Подсказка: этот угол равен 60 градусов. Докажите это.

[Участник1]

Я дагадываюсь, что в этой задаче надо исходить из свойств треугольника. А вот как доказать что он равен 60 градусам???

[Brukvalub]

Участник1 писал(а):

Я дагадываюсь, что в этой задаче надо исходить из свойств треугольника. А вот как доказать что он равен 60 градусам???

А я догадался, что Вам бы следовало написать : "решите задачу за меня". Я в такие игры не играю, поэтому ограничусь советом: начните изучение геометрии с самостоятельного решения более простых задач.

[Участник1]

Кто нибудь напишите как доказать что угол A равен 60 градусам.

Я простые задачи уже умею решать.

[Lion]

Выразите меру угла $LID$ через меру угла $A$, а потом воспользуйтесь тем, что четырехугольник $ALID$ --- вписанный.

Постарайтесь все остальное сделать сами.

[Участник1]

Откуда вы взяли точку D?
Вы наверно имели ввиду точку Q?

[Lion]

Да, имелась в виду точка $Q$.

[Участник1]

Вот мои рассуждения.

Т.к. четырехугольник ALIQ вписанный, то угол I = 180 градусов - угол A. Так же по свойству того, что диагональ AI четырехугольника ALIQ является также биссектрисой угла LAQ то отрезки LI и IQ равны! Отсюда следует равенство прямоугольных треугольников LC1I и IB1Q по двум сторонам C1I и IB1 (радиусы вписанной окружности), а так же LI и IQ. Поэтому отрезки LA и QA равны.
Но углы ILQ = IQL = углу A/2. Значит угол IQB1 = 180 - A/2 - 90 + A/2, получается, что угол IQB1 = 90 градусам. Отсюда следует, что IQ совпадает с IB1, а IC1 совпадает с IL. Значит, в треугольнике ABC две высоты совпадают соответственно с двумя биссектрисами, а это может быть только в правильном треугольнике! Отсюда следует, что все углы у треугольника ABC равны 60 градусам и все стороны равны между собой.
Но тут получается противоречие, т.к. в условии задачи написано, что AB>AC.

Помогите разобраться, а то я совсем запутался.

[Lion]

Да, забавное рассуждение. Ошибка в следующей фразе:

Цитата:

Поэтому отрезки LA и QA равны.

Почему --- попробуйте догадаться сами. Совет: нарисуйте точную картинку.

[Участник1]

Треугольники C1IL и QIB1 равны. Соответственно равны и LC1 и QB1. А поэтому AL (AC1 - LC1) и AQ (AB1 - B1Q) равны!

А IL и IQ равны потому, что являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника LIQ.

[Lion]

Я же сказал: нарисуйте точную картинку! Неужели угол $AB_1I$ на Вашем рисунке прямой?

Цитата:

А поэтому AL (AC1 - LC1) и AQ (AB1 - B1Q) равны!

Уверены

[Участник1]

Вот нарисовал.
Только вот как же установить что угол A равен 60 градусам?