Сумма определенных интегралов

[Limit79]

Здравствуйте!

Нашел такую задачку: найти сумму интегралов:

$$\int\limits_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{3}}} \sin(x^2) dx + \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{\arcsin(x)} dx$$

Есть мысль: каким-то образом преобразовать интегралы, чтобы они потом сократились, и осталось только некоторое число, только каким образом преобразовывать - не знаю

Натолкните на мысль, пожалуйста

(Оффтоп)

Задача с вступительного экзамена в Школу анализа данных Яндекса.

PS. Развиваю мысль:

В первом интеграле:

$$t=\sin(x^2) \Rightarrow \int\limits_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{3}}} \sin(x^2) dx = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{tdt}{2 \sqrt{\arcsin(t)} \sqrt{1-t^2}}$$

Пределы получились как у второго, вот только как второй бы преобразовать?... Или я вообще не в ту сторону думаю?

Спасибо!

[hjury]

Не берусь утверждать в четыре часа ночи по Москве, но быть может, стоит попробовать корень из арксинуса взять по частям?

[Ms-dos4]

Кажется, вы ошиблись в преобразовании, в числителе нет t, там $\[\int\limits_{\sqrt {\frac{\pi }{6}} }^{\sqrt {\frac{\pi }{3}} } {\sin {x^2}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dt}}{{2\sqrt {\arcsin t} \sqrt {1 - {t^2}} }}} \]$. Тогда интегрируя арксинус по частям (как верно отметил hjury) $\[\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\sqrt {\arcsin x} dx} = \left. {x\sqrt {\arcsin x} } \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} - \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dx}}{{2\sqrt {\arcsin x} \sqrt {1 - {x^2}} }}} \]$.

[provincialka]

Задача геометрически решается. Функции-то взаимно обратные. Запишите один интеграл через $y$ и нарисуйте соответствующую площадь.

[Limit79]

hjury
Ms-dos4
Точно, но, вроде, $t$ есть в числителе, да и если второй интеграл брать по частям, то $dv=dx \Rightarrow v= x$.

provincialka в сообщении #857478 писал(а):

нарисуйте соответствующую площадь

Соответствующую чему?

[Otta]

Limit79 в сообщении #857588 писал(а):

Соответствующую чему?

Первый интеграл соответствует какой площади?
Нарисовали.
Второй какой? Тоже умеем рисовать. Так вот нарисуйте первый на оси $Ox$, а второй - на $Oy$. Трепетно отнесясь к подынтегральным функциям и их графикам.

provincialka в сообщении #857478 писал(а):

Функции-то взаимно обратные.

[provincialka]

Соответствующую интегралу. Геометрический смысл интеграла - площадь криволинейной трапеции под графиком функции. Так вот, надо одну функцию нарисовать в координатах $x,y$, а другую - в координатах $y,x$. Например, во втором интеграле переобозначьте переменную через $y$. Тогда криволинейная трапеция получится "лежачая". А вот криволинейные части границ у обоих совпадут.
Ответ находится в уме за полминуты: $\sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\sqrt{\dfrac{\pi}{6}} \cdot\dfrac{1}{2}$

А, уже написали.

[Limit79]

Otta в сообщении #857590 писал(а):

Так вот нарисуйте первый на оси $Ox$, а второй - на $Oy$.

То есть нарисовать графики $x(y) = \sin(y^2)$ и $y(x) = \sqrt{\arcsin(x)}$ ? Если так, то они совпадают.

-- 01.05.2014, 15:28 --



Тогда искомая площадь - сумма площадей этих криволинейных трапеций, то есть площадь этого прямоугольника, то есть

$$ S = \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right ) \left ( \sqrt{\frac{\pi}{3}}-\sqrt{\frac{\pi}{6}} \right )$$

.

Но вот что-то где-то путаю :/

[Otta]

Limit79
Возьмите в руки карандаш и нарисуйте все это добро на бумаге.
На Вашей картинке нужных криволинейных трапеций нет и в помине.

[Limit79]

Otta
Нарисовал, получилось то же самое. Только у меня на рисунке еще видно начало координат, и искомая площадь будет находится как разница между большим и маленьким прямоугольником, теперь сошлось с ответом, спасибо!

[Otta]

Дак вот именно, что криволинейная трапеция - с основанием на оси. А Ваша картинка старательно автоматически обрезана.

[Limit79]

Ms-dos4 в сообщении #857469 писал(а):

$\[\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\sqrt {\arcsin x} dx} = \left. {x\sqrt {\arcsin x} } \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} - \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dx}}{{2\sqrt {\arcsin x} \sqrt {1 - {x^2}} }}} \]$.

$$u=\sqrt{\arcsin(x)} \Rightarrow du = \frac{dx}{2 \sqrt{\arcsin(x)} \sqrt{1-x^2}}$$

$$dv=dx \Rightarrow v = x$$

То есть в самом последнем интеграле все таки будет еще икс (да и у Вас же написано $x \sqrt{\arcsin(x)}$).

-- 01.05.2014, 16:38 --

Otta в сообщении #857637 писал(а):

А Ваша картинка старательно автоматически обрезана.

Пределы на графике я вручную выставлял, специально, чтобы было лучше видно, а оказалось наоборот

[Ms-dos4]

Да, извините, $\[t\]$ там будет (в обеих интегралах). 4 часа ночи сказываются и на мне