Кол-во матриц над полем вычетов по модулю n

[aurus]

Не понимаю как решить задачу. Найти кол-во матриц размера $3\cdot3$ с определителем 1 над полем вычетов по модулю 5.
Затруднения возникает в понимании 'поле вычетов по модулю 5'.
В моём понимании поле вычетов по модулю 5 состоит из чисел:
0:0,5,10,15,20
1:1,6,11,16,21
2:2,7,12,17,22
3:3,8,13,18,23
4:4,9,14,19,24
и т.д.
из этих чисел составить матрицу и искать там матрицы с определителем 1?

[provincialka]

Ну, примерно так. Определитель может получиться равным 1, 6, 11, -4, -9, ...
Только как вы будете их искать? Полным перебором? Это $5^9$ вариантов.

[Brukvalub]

aurus в сообщении #857054 писал(а):

...
В моём понимании поле вычетов по модулю 5 состоит из чисел:
0:0,5,10,15,20
1:1,6,11,16,21
2:2,7,12,17,22
3:3,8,13,18,23
4:4,9,14,19,24
и т.д.
.

Вы неправильно понимаете, как задать поле вычетов.

[nnosipov]

Подсказка для ТС: найдите сначала число невырожденных матриц 3-го порядка над полем из 5 элементов.

[aurus]

provincialka в сообщении #857076 писал(а):

Ну, примерно так. Определитель может получиться равным 1, 6, 11, -4, -9, ...
Только как вы будете их искать? Полным перебором? Это $5^9$ вариантов.

Да, перебором, наверное надо написать программку. Как вы получили число $5^9$?

Brukvalub в сообщении #857086 писал(а):

aurus в сообщении #857054 писал(а):

...
В моём понимании поле вычетов по модулю 5 состоит из чисел:
0:0,5,10,15,20
1:1,6,11,16,21
2:2,7,12,17,22
3:3,8,13,18,23
4:4,9,14,19,24
и т.д.
.

Вы неправильно понимаете, как задать поле вычетов.

Пересмотрел несколько книг, более менее что-то подходящее нашёл в учебнике 'Алгебра 1 Том - Глухов'. Посмотрел лекцию "Кольцо классов вычетов по модулю n" (http://www.youtube.com/watch?v=5TRQLyQ3kqc) Но так и не нашёл точной информации о том как задать матрицу над полем вычетов.
Если дано поле вычетов по модулю 5, то мы имеем множество:
$Z_5=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4}\} $
Из него надо каким-то образом получать матрицы размером 3 на 3, определитель каждой из которых я планирую высчитывать в дальнейшем.
Возможно ли следующим образом задать матрицу?:
$\qquad \begin{bmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 1 & 6 & 11 \\ 2 & 7 & 12 \end{bmatrix}$
Кстати, если есть класс, например, $\bar{0}$ - это же очень много чисел: 5,10,15,20 и т.д. на каком числе этот класс заканчивается или он до бесконечности?)

[nnosipov]

aurus в сообщении #858209 писал(а):

Возможно ли следующим образом задать матрицу?

Да, похоже, что Вы действительно не понимаете, о чём идёт речь в задаче. Матрица должна быть заполнена элементами $Z_5$, а не целыми числами. Поняв это, Вы поймёте, откуда взялось число $5^9$.

[provincialka]

aurus в сообщении #858209 писал(а):

Если дано поле вычетов по модулю 5, то мы имеем множество:
$Z_5=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4}\} $

Вот эти элементы в матрицу и вставляйте. Можете для простоты черточки не писать, но только помните, как происходит сложение и умножение.
Только метод перебора - очень долгий.

[aurus]

nnosipov в сообщении #858214 писал(а):

aurus в сообщении #858209 писал(а):

Возможно ли следующим образом задать матрицу?

Да, похоже, что Вы действительно не понимаете, о чём идёт речь в задаче. Матрица должна быть заполнена элементами $Z_5$, а не целыми числами. Поняв это, Вы поймёте, откуда взялось число $5^9$.

Только когда я начал писать свой пост на этом форуме и формулировать вопросы - я понемногу стал разбираться, что от меня требуется в задаче.

Получается из множества $Z_5$ можно составить матрицы вида:
$\begin{pmatrix} \bar{0} & \bar{1} & \bar{2} \\ \bar{3} & \bar{4} & \bar{0} \\ \bar{1} & \bar{2} & \bar{3} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{2} & \bar{3} \\ \bar{4} & \bar{0} & \bar{1} \\ \bar{2} & \bar{3} & \bar{4} \end{pmatrix} \qquad \cdots \qquad 5^9 $

provincialka в сообщении #858218 писал(а):

aurus в сообщении #858209 писал(а):

Если дано поле вычетов по модулю 5, то мы имеем множество:
$Z_5=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4}\} $

Вот эти элементы в матрицу и вставляйте. Можете для простоты черточки не писать, но только помните, как происходит сложение и умножение.
Только метод перебора - очень долгий.

Да, перебором долго, но как-то надо проверить будущий ответ задачи. На счёт умножения и сложения - не совсем понял.
В некоторых примерах я видел что классы складываются как обычные числа:
$\bar{0}+\bar{1} = \bar{1}$
На счёт умножения не знаю, но догадываюсь что есть специальные свойства на этот счёт иначе зачем бы тогда все эти сложности с полем вычетов.

[provincialka]

Например, $\bar2+\bar3=\bar0$, а $\bar2\cdot\bar3=\bar1$

[nnosipov]

aurus в сообщении #858238 писал(а):

Получается из множества $Z_5$ можно составить матрицы вида:

Вот это гораздо лучше. А $5^9$ не такое большое число, чтобы не перебрать (с помощью компьютера, конечно). Но решить задачу нужно не перебором.

Кстати, сколько будет $\overline{2} \cdot \overline{4}$?

[provincialka]

Заметьте, что любое решение порождает еще восемь, путем циклической перестановки строк и столбцов.

[iifat]

Таки не совсем как обычные числа. Вам действительно стоит разобраться в предмете. Всякие там группы, алгебра вычетов — начала теории чисел, в общем.
Может, стоит попробовать доказать, что ненулевых матриц одинаково — с определителем 1, 2, 3, 4. Потом из $5^9$ вычесть нулевые матрицы и поделить на 4. Не знаю, впрочем.
Собственно, если и правда программу написать, не так уж и долго получится, так что вполне себе вариант.

[nnosipov]

iifat в сообщении #858247 писал(а):

Не знаю, впрочем.

Что тут знать? Ровно так и надо, это самый естественный способ.

[iifat]

Если получится доказать, то, разумеется, самый естественный.

[nnosipov]

Получится. Но не будем спешить, пусть ТС сначала привыкнет к конечным полям.