Собственные числа, вектора разностной схемы для ур. Пуассона

[lega4]

Рассматривается уравнение Пуассона в двумерной области: прямоугольник с выбитым квадратом (см. рисунок). Угол квадрата ровно в точке $(0.5, 0.5)$. Граничные условия первого рода (задача Дирихле). Решается численно, для этого вводится сетка, равномерная по каждой оси (шаги h и k по x и y соответственно). Вторые производные заменяются разностными операторами, получается система линейных уравнений с матрицей $A$.
Задание - нужно найти собственные числа и собственные вектора А в случае данной области.


Для обычного прямоугольника проблем нет - решаем, разделяя переменные, простые граничные условия, получаем с.ч. $\lambda_{st}=\frac{4}{h^2}\sin^2(\frac{\pi ht}{2}) + \frac{4}{k^2}\sin^2(\frac{\pi ks}{2})$, где $s=1..n-1, t=1..m-1$ и соответствующие собственные вектора $v_{st}^{ij} = ( \sin(\pi x_i s)\sin(\pi y_j t) )$.

Но в случае с данной областью возникает проблема с граничными условиями. Ведь мы ищем такие вектора, которые равны нулю на границе области, поэтому, как в предыдущем случае, сказать "в нуле ноль, в единице ноль" не получится, надо как-то учесть "угол". Понятно, что те вектора задачи в прямоугольнике, которые соответствовали четным s и t, также будут собственными векторами задачи в данной области, но остаются еще..
Методом разделения переменных ничего хорошего не нашел, кроме тех же функций для четных s, t. Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать?

[lega4]

Вверх, подскажите, пожалуйста.

[Deggial]

lega4, замечание за подъем темы бессодержательным сообщением