Про равенство лин. оболочек.

[ghetto]

Цитата:

Найдите 3 ненулевых вектора $u, v, w$ в $\mathbb R$ таких, что лин. оболочка$(\{u, v\}) =$ лин. оболочка$(\{v, w\}) =$ лин. оболочка$(\{u, v, w\})$, но таких, что лин. оболочка$(\{u, w\}) \neq$ лин. оболочка$(\{u, v, w\})$.

Пусть $w = v + u$. Тогда лин. оболочка$(\{u, v\}) = $ лин. оболочка$(\{2u, v\})$.

лин. оболочка$(\{u, v\})$ - это множество всех лин. комбинаций $au +bv$, где $a, b \in \mathbb R$, а лин. оболочка $(\{2u, v\})$ - это множество всех лин. комбинаций $2au +bv$, где $a, b \in \mathbb R$.

Таким образом лин. оболочка$(\{u, v\}) \subseteq $ лин. оболочка$(\{v, w\})$. Обратное тоже верно.

Но я не пойму как продолжить.

-- 29.04.2014, 20:10 --

Название топика не то. Сначала я приготовился задать один вопрос, но решил спросить другое. Забыл поменять название топика.

[Otta]

Вам же пример нужен. Что Вы пытаетесь доказывать? Просто приведите его явно. Порисуйте разные взаимные расположения векторов, быстро придумаете.

-- 29.04.2014, 22:13 --

(Оффтоп)

ghetto в сообщении #856866 писал(а):

Название топика не то. Сначала я приготовился задать один вопрос, но решил спросить другое. Забыл поменять название топика.

Вам никто не мешает это сделать. Нажмите кнопку правка, и исправьте поле "Заголовок" как Вам нужно.

[mihailm]

Как-то нехорошо, что векторы с прямой

[Otta]

И впрямь.

[ghetto]

Если $ w = \alpha u + \beta v$ для некоторых $\alpha, \beta$, то $v = \frac 1 \beta w - \frac {a}\beta u $ при условий, что $\beta \neq 0$. Тогда $v \in оболочка(\{w, u \})$. Это значит, что $ оболочка(\{u, w\}) = оболочка(\{u, v, w\})$, а нам надо чтоб эти две оболочки были неравными. Тогда возьмем $w =\alpha u$. Отсюда уже видно, что все данные равенства и неравенства верны.