Вычислить предел последовательности

[Firth]

Здраствуйте, зашел в тупик, без помощи не выбраться.
Нужно найти предел последовательности.

$$\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+..+\frac{1}{n(n+1)})$$

Мне очень хочется превратить последовательность в сумму

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$$

Тогда можно найти эту сумму из формулы для n первых слагаемых геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1}{1-q}$$

а $q$ найдем из соображений, что $b_{n-1}\cdot q=b_n$

$$q=\frac{b_n}{b_n-1}=\frac{n(n-1)}{n(n+1)}=\frac{n-1}{n+1}$$

Подставляем в формулу для суммы получаем:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{n-1}{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{n+1-n+1}{n+1}}=\frac{n+1}{4}$$

Но при $n\to\infty$ получается ерунда, где же ошибка?

[Otta]

$b_n$ на $b_{n-1}$ можно поделить всегда. Ну почти. Из этого не следует, что всякая последовательность - прогрессия.

С чего Вы взяли, что это она?

Для вычисления суммы представьте каждое слагаемое в виде разности простейших дробей.

[Firth]

Геометрическая прогрессия это когда каждое последующее получается умножением предыдущего на число q, вот тут наверное и ошибка. Значит последовательность не прогрессия т.к. q разное для всех слагаемых. верно?

Разложим на простейшие:

$$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$$

оооо любопытно получается

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+...-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

В итоге остается только 2 слагаемых $1$ и $\frac{1}{n+1}$ тогда ответ получается $1$ верно?

[Otta]

Firth в сообщении #856646 писал(а):

верно?

Верно.
Два раза.

[Firth]

Спасибо большое!