2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечно много 3
Сообщение29.04.2014, 07:31 


24/12/13
353
Дано натуральное число $a$ которое не является квадратом целого числа. Докажите, что существует бесконечно много простых $p$ для которых $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1 (  mod p )$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно много 3
Сообщение29.04.2014, 11:31 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Баян:
$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\left(\frac{a}{p}\right)\pmod p$
$a=e p_1^{a_1}...p_s^{a_s}, e=\pm 1$
$a\neq x^2\Rightarrow (\exists k)a_k\equiv 1\pmod 2$
$\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{e}{p}\right)\left(\frac{p_1}{p}\right)^{a_1}...\left(\frac{p_s}{p}\right)^{a_s}=(-1)^{\frac{p-1}{2}\sum\limits_j\frac{p_j-1}{2}}\left(\frac{e}{p}\right)\left(\frac{p}{p_1}\right)^{a_1}...\left(\frac{p}{p_s}\right)^{a_s}$.
Подберем $p$ так, чтобы $(\forall j\neq k)p\equiv 1\pmod{p_j}, p\equiv 1\pmod{4}, p\equiv -1\pmod{p_k}$. Такое $p$ существует, как лежащее в некоторой арифметической прогрессии вида $kt-1, t\in\mathbb{Z}, k=4p_1...p_s$, элементарное доказательство последнего факта см. в книге Хассе Основы теории чисел (если не вру, там это делается через круговые многочлены. Для $kt+1$ точно через круговые многочлены, а 2-й случай я не помню)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group