интеграл Лебега

[loshka]

Здравствуйте. Помогите с 2 задачками.
Доказать измеримость функции $f:[0;5]\rightarrow R $ мера множество точек разрыва функции $f$ равно $0$

Найти интеграл Лебега по области $[0;2]$ от функции

$$ f(x)=\begin{cases} x^2+1,&\text{если $x$ рационально;}\\ x^2-1,&\text{если $x$ иррациональное алгебраическое;}\\ 2x-1,&\text{если $x$ иррациональное трансцендентное.} \end{cases} $$

В первой задачи думал заключить точки разрыва в интервалы, объединить их и выкинуть из области $[0;5]$ раз мера множества точек разрыва равна 0, думал как свести к тому что, таких интервалов будет счетное количество, но пока не знаю как это обосновать.
Во второй задачи думаю воспользоваться свойством интеграла Лебега о том что если изменить значения на множества меры 0, то значения интеграла не изменится, от рациональных избавлюсь, а что делать с трансцендентными и алгебраическими не знаю

Подскажите пожалуйста

[Brukvalub]

В первой задаче нужно вспомнить определение множества меры Лебега 0, во второй - доказать, что множество алгебраических чисел - счетное.

[VladimirKr]

(Оффтоп)

У нас добрый преподаватель, который очень не любил ставить двойки, поступал так:
1. Измерима ли функция, заданная на множестве меры 0? Измерима ли непрерывная функция? (а докажите!)
2. А какова мощность рациональных точек отрезка? А алгебраических точек (что это, кстати?). А докажите, что множество счетной мощности имеет линейную меру Лебега 0. А проинтегрируйте линейную функцию на отрезке. А почему интеграл Римана равен интегралу Лебега по линейной мере для функций, интегрируемых по Риману? Ну и контрольный выстрел: А сформулируйте критерий интегрируемости по Риману для ограниченной функции (тот, который про меру множества точек разрыва).
Ну, все равно двойка получалась.

[Oleg Zubelevich]

VladimirKr в сообщении #855659 писал(а):

Измерима ли функция, заданная на множестве меры 0? Измерима ли непрерывная функция? (а докажите!)

это зависит от того являются ли измеримыми подмножества этого множества меры нуль. (меры и сигма-алгебры разные бывают, есть такое свойство "полнота"

-- Вс апр 27, 2014 11:17:58 --

но, вообще, все вопросы тривиальные совершенно, преподаватель действительно добрый

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #855660 писал(а):

это зависит от того являются ли измеримыми подмножества этого множества меры нуль.

это мера Лебега

[Brukvalub]

Oleg Zubelevich в сообщении #855660 писал(а):

...
но, вообще, все вопросы тривиальные совершенно, преподаватель действительно добрый

И этот добрый препод "вне темы"

[VladimirKr]

Цитата:

это зависит от того являются ли измеримыми подмножества этого множества меры нуль. (меры и сигма-алгебры разные бывают, есть такое свойство "полнота"

Не хочется вступать в терминологический спор, но мера Лебега (если специальной оговоркой не ограничено ее множество определения) изначально является полной так скажем, по определению, возникающему из известной теоремы о продолжении меры.

[loshka]

спасибо)