Обязательно ли число равно нулю?

[Ktina]

Целые числа $m$ и $n$ таковы, что

$$m\cdot 3^k+n$$

является точным кубом при любом натуральном $k$.
Обязательно ли $m$ равно нулю?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #855580 писал(а):

Обязательно ли $m$ равно нулю?

Да, обязательно. Для доказательства можно рассмотреть последовательность $x_k=(m \cdot 3^k+n)^{1/3}-3(m \cdot 3^{k-3}+n)^{1/3}$. Она состоит из целых чисел и при $m \neq 0$ стремится к нулю.

[Ktina]

nnosipov
Можно иначе.
Если $m\cdot 3^k+n$ - куб, то и $m\cdot 3^{k+3}+27n$ - тоже. Но ведь и
$m\cdot 3^{k+3}+n$ - куб. Таким образом у нас $26n$ это разность кубов. Но рано или поздно мы дойдём до настолько большого $k$, что это условие перестанет выполняться при положительном или отрицательном $m$. А при нулевом - будет!

[Cash]

На мой взгляд, это та же самая идея.