Два треугольника

[scwec]

Пусть дан треугольник с рациональными длинами сторон, рациональной площадью $S$ и $\vartheta$ -один из внутренних углов треугольника.
Докажите, что существует треугольник с рациональными длинами сторон $(a,b,c)$ и площадью $S$, с внутренним углом $\vartheta$ такой, что $(a+b+c)(b+c-a)=r^2$, где $r$ - рациональное число.

[scwec]

В исходном треугольнике найдутся две стороны с неравными длинами сторон.
Обозначим длины сторон исходного треугольника $u,v,w$ и $u>v$ , угол между этими сторонами $\vartheta$.
Пусть $a=\dfrac{2uvw}{u^2-v^2}, b=\dfrac{u^2-v^2}{2w}, c=\dfrac{2(u^2+v^2)w^2-(u^2-v^2)^2}{2w(u^2-v^2)}$.
Легко убедиться, что $a,b,c$ длины сторон треугольника, площадь которого равна площади исходного, а угол между сторонами с длинами $a,b$ равен $\vartheta$.
Кроме того, $(a+b+c)(b+c-a)=w^2$. Что и требовалось.

Еще пара задач из этой серии.
1. Дан треугольник с длинами сторон $17,17,30$. Площадь его равна $120$. В качестве $\vartheta$ возьмем угол между сторонами с длинами $17$.
Найдите еще хотя бы один треугольник с рациональными длинами сторон, площадью $120$ и одним из внутренних углов $\vartheta$.

2. Дан треугольник с длинами сторон $5,5,8$. Площадь его равна $12$. В качестве $\vartheta$ возьмем угол между сторонами с длинами $5$.
Докажите, что это единственный треугольник с рациональными длинами сторон, площадью $12$ и одним из внутренних углов $\vartheta$.