Доказать неравномерную сходимость функционального ряда

[Kink]

Нужно доказать, что следующий функциональный ряд
сходится неравномерно на сегменте 0 \leqslant x \leqslant 2\pi: \sum\limits_{n=1}^{\infty} {\sin{nx}\over{n}}}.

Знаю только достаточные признаки равномерной сходимости (Вейерштрасса, Абеля, Дирихле), но тут нужен необходимый признак равномерной сходимости, чтобы опровергнуть его на данном ряде. Прошу помощи.

[ИСН]

А Вы посмотрите, к чему он сходится-то, например.

[RIP]

Можно критерий Коши применить. Докажите, что $\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{\sin nx}n$ не стремится к $0$ равномерно при $N\to\infty$.

[Kink]

RIP в сообщении #854150 писал(а):

Можно критерий Коши применить. Докажите, что $\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{\sin nx}n$ не стремится к $0$ равномерно при $N\to\infty$.

Насколько их
\left|\sum\limits_{n=N+1}^{2N} {\sin{nx}\over{n}}}\right| = \left|{\sin{(N+1)x}\over{N+1}}+{\sin{(N+2)x}\over{N+2}}+...+{\sin{2Nx}\over{2N}}\right| \leqslant \left|{\sin{(N+1)x}+...+\sin{2Nx}}\over{2N}\right|. Что теперь здесь нужно, при определенных $x$ показать, что эта сумма больше нуля?

[provincialka]

Как-то странно вы записываете критерий неравномерности. Вернее, совсем не записали. Что доказать-то надо?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Приведите свои попытки решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.