Приведение уравнения к каноническому виду

[shukshin]

Прошу мне объяснить один момент в ходе решения:
http://mathhelpplanet.com/static.php?p= ... skomu-vidu
пункт 3в, кратный корень
почему в качестве одного из векторов нужно(можно) брать любой ненулевой столбец матрицы $A-\lambda_3E$? Объясните, пожалуйста, понятно и подробно.
И вообще можете пояснить ситуацию с кратным корнем, почему он иногда получается в подобных расчетах, в чем геометрический смысл?

[svv]

Столбцы матрицы $A-\lambda_3 E$ ортогональны собственному вектору $l_3$. Собственное подпространство кратного значения $\lambda_{1,2}$ двумерно и ортогонально $l_3$. Следовательно, любой столбец $A-\lambda_3 E$ лежит в собственном подпространстве $\lambda_{1,2}$, а если он ненулевой, он является собственным вектором, соответствующим $\lambda_{1,2}$.

shukshin в сообщении #853158 писал(а):

в чем геометрический смысл?

Когда ровно два собственных значения совпадают, поверхность является фигурой вращения. Одна из главных осей (совпадающая с осью вращения) определяется по-прежнему однозначно, а две других — уже неоднозначно: их можно вращать.

[shukshin]

svv, а почему столбцы матрицы ортогональны собственному вектору?

[bot]

Этот вектор находится из некоей системы уравнений - посмотрите на них. Не выглядят ли левые части урвнений
как скалярные произведения?

[shukshin]

так левые части - это строки матрицы, но не столбцы

[svv]

Так она ж симметричная.

[shukshin]

вот это другое дело, спасибо всем, кто пояснил