Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)

[DigitChar]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, вырулить в решении такой задачи:
<< Построить формулу $L_{4}^{(IV)}(x)$ для вычисления $f^{(IV)}(x_2)$ по пяти близлежащим узлам $x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_i - x_{i-1} = h$ . Каков порядок погрешности аппроксимации в узле $x_2$?
$L_n(x)$ - полином Лагранжа, приближение функции $f(x)$ >>

Для начала найдём $L_4(x)$:
$L_4(x) = f_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)(x_0-x_4)}+f_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)}+f_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)}+f_3 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)}+f_4 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_4-x_0)(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)}$

Т.к. $x_i - x_{i-1} = h$, то

$L_4(x) = f_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(-h)(-2h)(-3h)(-4h)}+f_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(h)(-h)(-2h)(-3h)}+f_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}{(2h)(h)(-h)(-2h)}+f_3 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}{(3h)(2h)(h)(-h)}+f_4 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(4h)(3h)(2h)(h)}=$
$= f_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{24h^4}+f_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{-6h^4}+f_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}{4h^4}+f_3 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}{-6h^4}+f_4 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{24h^4}$

Как быть дальше? Можно ещё что-то упростить перед взятием производной?
Как искать порядок погрешности аппроксимации в узле $x_2$?

[ewert]

Для начала выпишите многочлен в форме не Лагранжа, а Ньютона через конечные разности. Сделав предварительно замену переменной $x=x_0+t\cdot h$ (а ещё лучше $x=x_2+t\cdot h$ и многочлен в форме Гаусса) -- сразу как-то очень резко полегчает. В любом случае порядок точности, согласно теории, второй (с учётом симметрии).

-- Вт апр 22, 2014 19:10:21 --

Да, чуть не забыл. Строить эту формулу, конечно, не надо -- надо сразу написать, что это просто $\dfrac{\Delta^4f}{h^4}$ и ни о чём больше не думать.

[DigitChar]

Т.е. лучше воспользоваться формулой Гаусса?

[ewert]

Лучше вообще никакой формулой не пользоваться. У Вас степень многочлена равна порядку производной и, следовательно, эта производная постоянна. Ну а отношение конечной разности к степени шага для любой функции равна соответствующей производной (в общем случае -- в некоторой промежуточной точке).

Вот если бы порядок производной был меньше, чем степень многочлена -- тогда да, тогда этот многочлен пришлось бы строить честно; и удобнее всего, да, в форме Гаусса. Но если Гаусса лень, то и стандартная ньютоновская форма вполне сошла бы, просто поковыряться пришлось бы раза в два дольше (с соответствующим увеличением вероятности ошибиться).

[svv]

DigitChar в сообщении #853077 писал(а):

$= f_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{24h^4}+f_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{-6h^4}+f_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}{4h^4}+f_3 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}{-6h^4}+f_4 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{24h^4}$
Как быть дальше? Можно ещё что-то упростить перед взятием производной?

Коль уж Вы эту формулу написали, можете брать четвертую производную. Это просто: четвертая производная полинома $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ равна $24$ независимо ни от точки $x$, ни от $x_1,x_2,x_3,x_4$.

[ewert]

svv в сообщении #853086 писал(а):

, можете брать четвертую производную. Это просто:

Да, просто. Однако это был, судя по всему, вопрос из какого-то теста. Тест же (если он нормальный тест) никаких вычислений не предполагает, а предполагает знание теории и мгновенный ответ.

[DigitChar]

С учётом этого:

svv в сообщении #853086 писал(а):

четвертая производная полинома $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ равна $24$ независимо ни от точки $x$, ни от $x_1,x_2,x_3,x_4$.

получается такая формула:

$L^{(IV)}_4(x) = f_0 \frac{24}{24h^4} - f_1 \frac{24}{6h^4} + f_2 \frac{24}{4h^4} - f_3 \frac{24}{6h^4} + f_4 \frac{24}{24h^4} = \frac{f_0 - 4f_1 + 6f_2 - 4f_3 + f_4}{h^4}$

Похоже на правду т.к. формула симметричная и сумма коэффициентов при $f_1,...,f_4$ равна нулю.

-- 23.04.2014, 21:42 --

Помогите, пожалуйста, со вторым вопросом: как определить порядок погрешности аппроксимации в узле $x_2$?

-- 23.04.2014, 22:19 --

DigitChar в сообщении #853077 писал(а):

Построить формулу $L_{4}^{(IV)}(x)$ для вычисления $f^{(IV)}(x_2)$

Выше найден $L_{4}^{(IV)}(x)$, он должен иметь какое-то отношение к узлу $x_2$? Каким образом формула для вычисления $f^{(IV)}(x_2)$ будет отличаться от аналогичных формул в других узлах? В чём особенность построения формулы производной функции для конкретного узла?

[ewert]

DigitChar в сообщении #853357 писал(а):

Выше найден $L_{4}^{(IV)}(x)$, он должен иметь какое-то отношение к узлу $x_2$?

Не должен. Т.е. будет иметь ровно такое же, как и ко всем остальным узлам. Ибо он констант.

[_Ivana]

Присоединяюсь к вопросу ТС о точности. Пребываю в убеждении, что четвертая производная, вычисленная в точке $x_2$ по точкам $x_0 - x_4$ будет точнее, чем по точкам $x_1 - x_5$, а последняя точнее, чем по точкам $x_2 - x_6$

[ewert]

_Ivana в сообщении #853545 писал(а):

Пребываю в убеждении, что четвертая производная, вычисленная в точке $x_2$ по точкам $x_0 - x_4$ будет точнее, чем по точкам $x_1 - x_5$, а последняя точнее, чем по точкам $x_2 - x_6$

Первое убеждение верно, второе же -- практически нет (там далее порядок одинаков, масштаб же при фиксированном порядке особо так практического значения не имеет).

[DigitChar]

ewert в сообщении #853525 писал(а):

DigitChar в сообщении #853357
писал(а):
Выше найден $L_{4}^{(IV)}(x)$, он должен иметь какое-то отношение к узлу $x_2$?
Не должен. Т.е. будет иметь ровно такое же, как и ко всем остальным узлам. Ибо он констант.

Спасибо, ewert.

К тому же полученная формула симметричная

DigitChar в сообщении #853357 писал(а):

$L^{(IV)}_4(x) = f_0 \frac{24}{24h^4} - f_1 \frac{24}{6h^4} + f_2 \frac{24}{4h^4} - f_3 \frac{24}{6h^4} + f_4 \frac{24}{24h^4} = \frac{f_0 - 4f_1 + 6f_2 - 4f_3 + f_4}{h^4}$

и найти нужно формулу для вычисления $f^{(IV)}(x_2)$, где узел $x_2$ центральный из пяти данных.

-- 24.04.2014, 19:27 --

С первой частью задания понятно, спасибо всем

Но остаётся второй вопрос: как определить порядок погрешности аппроксимации в узле $x_2$?

ewert в сообщении #853080 писал(а):

В любом случае порядок точности, согласно теории, второй (с учётом симметрии)

Имеется в виду, что центральная конечная разность имеет второй порядок аппроксимации? Или здесь ни при чём конечные разности?