Мера, не уверен в ответе.

[Pisarik]

Доброго времени суток!

Есть такая задача:
Пусть $X = \{a, b, c\}, S = P(X)$. Построить, если возможно, меру на $S$ так, чтобы $m(\{a\}) = 2, m(\{a, b\}) = 5, m(\{a, b, c\}) = 8$.

$X$ - не пустое множество
Не пустое семейство множеств $S \subset P(X)$ называется полукольцом, если
1) Содержит пустое множество;
2) Замкнуто относительно операции пересечения множеств, т.е. $A, B \in S \Longrightarrow A \cap B \in S$;
3) Если $A,B \in S$, то найдутся $C_1, C_2, ..., C_n \in S: A \setminus B = \bigsqcup_{k = 1}^{n} C_k$.
ну или если брать из википедии, то $A \in S, A_1 \in S, A_1 \subset A \Longrightarrow \exists A_2, ... A_n \subset A: A = \bigsqcup_{k = 1}^{n} A_k$

На полукольце $S \subset P(X)$ определена мера, если каждому элементу(множеству) $A \in S$ ставится в соответствие вещественное число, т.е. $m(A) \in R$, таким образом, что
1) $\forall A \in S \Longrightarrow m(A) \ge 0$
2) $A, B \in S A \cap B = \emptyset \Longrightarrow m(A\cup B) = m(A) + m(B)$

Проверим является ли кольцом наше $S$
1) первая аксиома выполняется очевидно.
2) вторая не могу понять как выполняется например для множества $A = \{a\}$, есть у нас множество $A_1 = \emptyset$, которое $A_1 \subset A$ ,но не существует таких подмножеств, что $A = \bigsqcup_{k = 1}^{n} A_k$

ну и если предположить, что это кольцо и решать дальше, то у нас есть
$m(\{a\}) = 2, m(\{a, b\}) = 5, m(\{a, b, c\}) = 8$
$m(\{a, b\}) = m(\{a\}) + m(\{b\})$ т.к. пересечение этих множеств пустое отсюда получаем, что $m(\{b\}) = 3$
аналогично для $m(\{a, b, c\}) = m(\{a, b\}) + m(\{c\}) = 8 \Longrightarrow m(\{c\}) = 3$
и выходит ответ
$m(A) = \begin{cases} 2 &, A = \{a\} \\ 3 &, A = \{b\} \\ 3 &, A = \{c\} \\ \end{cases}$

Спасибо за внимание:)

[Otta]

(Оффтоп)

\exists

Значицца, так. Совершенно непонятно, зачем Вы проверяете, что это полукольцо, когда ежику ясно, что это не только кольцо, но и даже алгебра.

Затем. Определение кольца у Вас, помнится, достаточно фиговое. Неудобно с ним работать.
Нормальное, рабочее определение - это семейство множеств, замкнутых относительно операции объединения, пересечения и разности.

Дальше. Что есть мера? Аддитивная неотрицательная функция на этом семействе. Ну и отсюда сразу ясно, какие значения у нее и где. Нет, не такие.

[kp9r4d]

Это, очевидно, полукольцо и даже, очевидно, алгебра.

Цитата:

например для множества $A = \{a\}$, есть у нас множество $A_1 = \emptyset$, но не существует таких подмножеств, что $A = \coprod_{k = 1}^{n} A_k$

существует. Например $A_2 = \{ a \}$.

(Оффтоп)

В $C_k$ вы «C» русское написали. А ещё дизъюнктивное объединение то всё-таки \bigsqcup а \coprod — то копроизведение.

[Otta]

(продолжение)
...

Pisarik в сообщении #852367 писал(а):

$m(\{a, b, c\}) = m(\{a, b\}) + m(\{c\}) = 8 \Longrightarrow m(\{c\}) = 1$

А почему? а потому что где-то тут мы то ли складывать, то ли вычитать вдруг разучились. )))

[Pisarik]

Otta в сообщении #852379 писал(а):

А почему? а потому что где-то тут мы то ли складывать, то ли вычитать вдруг разучились. )))

ой да.. поправил, спасибо:) сегодня целый день не могу сконцентрироваться)
Но в целом похоже ведь на правду?

[kp9r4d]

Pisarik
Тут дело такое, что значок $\subset$ зачастую понимается как нестрогое включение, потому что строгие никому не нужны, а когда хотят подчеркнуть строгость включения то пишут $\subsetneq$.
Аксиома не о том, она о том, что если я взял $A_1$ — кусок из $A$, то я всегда его могу дополнить его непересекающимися кусками $A_2, ..., A_n$ до $A$.
Вот например множество $X = \{ \{\}, \{1\}, \{1,2,3\} \}$. Оно оно не полукольцо, потому что если я возьму в качестве $A=\{1,2,3\}$ а в качестве $A_1 = \{1\}$, то дополнить $A_1$ до $A$ у меня ничем не получится.

[Otta]

Pisarik в сообщении #852380 писал(а):

Но в целом похоже ведь на правду?

Ну, осталось проверить, что мера, а в целом похоже.

С кольцами/полукольцами Вы все никак не разберетесь. Ну ничего.
Проверяйте, что кольцо. Зачем Вам полукольцо?

[Pisarik]

kp9r4d
Спасибо, понятно:)


Otta

(Оффтоп)

лектор у нас походу не знает своего предмета, сам его пока мало знаю, но отзывы о нем такие, что он у другого лектора криво выдрал консепкт и просто читает с него, стоит отойти от конспекта, как сразу какие-то ошибки и ерунда. В общем как лектор дал определения, так и пишу:)

Просто по определению вводили меру на полукольце, поэтому и решил проверить на полукольцо) ну и закрепить заодно тем, что такое это полукольцо) Понятно, что любое кольцо является полукольцом, но чего-то не подумал проверять на кольцо или алгебру) Видимо опыта мало еще сразу так определить, чем это является:)

проверяем аксиомы меры для заданной мной функции m(A):
1) Неотрицательная - есть:) потому что в итоге все множества сводятся к объединению некоторых из этих 3 множеств, и коль сами они неотрицательны, то и сумма их неотрицательная.
2) Аддитивность выполняется для заданных условий, а остальные значения получаются просто из определения функции. Не очень понимаю, как корректно проверить это.

(Оффтоп)

чувствую себя идиотом) кажется над такой ерундой сижу уже час, а то и два)
вспоминается пословица "Если хочешь учиться , будь готов считаться дураком и тупицей" Эпиктетус. :)

[kp9r4d]

Да вы можете просто написать (если то индивидуальная работа у вас), что по построению функция аддитивна, т.е. вы же её специально достраивали так, чтобы не нарушить аддитивность. Сами вы ведь понимаете что она аддитивна?

[Pisarik]

kp9r4d
Да, так и хотел как-то написать, только не мог сформулировать нормально) ну, примерно это же и написал во 2-ом пункте)) Понимаю, что аддитивна)

[Otta]

Pisarik в сообщении #852390 писал(а):

Просто по определению вводили меру на полукольце, поэтому и решил проверить на полукольцо) ну и закрепить заодно тем, что такое это полукольцо)

Чтобы хорошо понимать определение полукольца, надо отрабатывать его на системе множеств, кольцом не являющейся.
Ну например, рассмотрите множество всех прямоугольников со сторонами, параллельными осям, на плоскости, возможно, без части границы.
Кольцо? Полукольцо?

-- 21.04.2014, 03:26 --

Pisarik в сообщении #852390 писал(а):

Просто по определению вводили меру на полукольце,

Просто на полукольце как раз мера определяется сложнее, чем на кольце, потому что в отличие от кольца, объединение элементов полукольца полукольцу же принадлежать не обязано. Поэтому написать $m(A\sqcup B)$ мы не имеем технической возможности: сама функция $m$ определена только на элементах полукольца. Так что этот момент обходится искусственно.

Иное дело кольцо, там с этим проблем нет.

[Pisarik]

Otta в сообщении #852401 писал(а):

рассмотрите множество всех прямоугольников со сторонами, параллельными осям, на плоскости, возможно, без части границы.
Кольцо? Полукольцо?

Это не является кольцом, потому что если объединить два прямоугольника, то в общем случае не получим прямоугольник.
Пересечение двух прямоугольников с координатами верхнего левого и правого нижнего углов
$A - (x_1, y_1) (x_2, y_2)$
$B - (x_3, y_3) (x_4, y_4)$
будет прямоугольник $C - (\max(x_1, x_3), \min(y_1, y_3)) (\min(x_2, x_4), \max(y_2, y_4))$
значит это семейство замкнуто относительно пересечения.
И какой бы подпрямоугольник мы не выбрали всегда найдется в общем случае по крайней мере 4 подпрямоугольника, которые его дополнят до исходного. значит полукольцо:)
уже увереннее себя чувствую в этом, спасибо:)

вот еще есть задание:)
Пусть $X = N, K$ - кольцо, состоящее из конечных подмножеств $N$. Определить, задает ли данная формула меру на $K$
$m(A) = \sum\limits_{n \in A} \frac{1}{n}$

1) Данная функция очевидно неотрицательная. ($n \in N$)
2) Теперь аддитивность:
Предположим, есть $A, B \in K: A \cap B = \emptyset$. В общем случае
$m(A \cup B) = \sum\limits_{n \in A \cup B} \frac{1}{n} = \sum\limits_{n \in A} \frac{1}{n} + \sum\limits_{n \in B} \frac{1}{n} - \sum\limits_{n \in A \cap B} \frac{1}{n}$
но т.к. $A \cap B = \emptyset \Longrightarrow \sum\limits_{n \in A \cap B} \frac{1}{n} = 0$ в итоге получаем
$m(A \cup B) = \sum\limits_{n \in A \cup B} \frac{1}{n} = \sum\limits_{n \in A} \frac{1}{n} + \sum\limits_{n \in B} \frac{1}{n} = m(A) + m(B)$

или правильнее написать, что т.к. $A \cap B = \emptyset \Longrightarrow m(A \cap B) = m(\emptyset) = 0$

[kp9r4d]

Ну да, вроде как мера. Разве что бесконечная, но то такое.

[SpBTimes]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #852401 писал(а):

Так что этот момент обходится искусственно.

Зато полукольцо обозримее. А обходится словами "ежели дизъюнктное объединение принадлежит, то..."

-- Пн апр 21, 2014 17:50:56 --

Pisarik
Правильно, правильно. Посмотрите как обобщение дискретную меру.

[Pisarik]

И еще последняя задача:
Пусть $X = [-1;1[, S = \{[a; b[ \subset X\}, m([a; b[) = F(b) - F(a)$. При каких значения параметра $\alpha$ эта формула задает меру, σ-аддитивную меру? Если мера не является σ-аддитивной, то указать полуинтервал $[\alpha; \beta[$ и его разбиение $[\alpha; \beta[ = \bigsqcup\limits_{k=1}^\infty [\alpha_k; \beta_k[$ такое, что $m([\alpha; \beta[) \not= \sum\limits_{k=1}^\infty m([\alpha_k; \beta_k[)$.
$F(x) = \begin{cases} x+2 &, x \in [-1; -\frac{1}{2}[ \\ \alpha &, x = -\frac{1}{2} \\ x+4 &, x \in ]-\frac{1}{2}; 1[ \end{cases}$

Определение
Мера $m$ называется сигма-аддитивной мерой, если $\forall A_1, A_2, ... \in S: A = \bigsqcup\limits_{k=1}^\infty A_k, A \in S \Longrightarrow m(A) = \sum\limits_{k=1}^\infty A_k$

Решение
На этот раз $S$ уж точно задает множество подполуинтервалов на полуинтервале $[-1; 1[ = X$. Это семейство не является кольцом, т.к. объединение полуинтервалов не всегда является полуинтервалом, но является полукольцом, т.к. пересечением двух полуинтервал является полуинтервал и какой бы мы не выбрали полуинтервал его всегда можно дополнить по крайней мере двумя полуинтервалами до исходного.

Чтобы наша функция $m$ была мерой надо, чтобы она была не отрицательной. Сама функция $F$ - неотрицательна на полуинтервале $X$, если задать $\alpha \ge 0$.
Теперь рассмотрим $m([a; b[) = F(b) - F(a)$
$\begin{cases} F(b) - F(a) = b - a \ge 0 &, a, b \in [-1; -\frac{1}{2}[ \\ F(b) - F(a) = b - a \ge 0 &, a, b \in ]-\frac{1}{2}; 1[ \\ F(b) - F(a) = b + 2 - a \ge 0 &, a \in [-1; -\frac{1}{2}[, b \in ]-\frac{1}{2}; 1[ \\ F(b) - F(a) = b + 4 - \alpha \ge 0 &, a = -\frac{1}{2}, b \in ]-\frac{1}{2}; 1[ \\ F(b) - F(a) = \alpha - a - 2 \ge 0 &, a \in [-1; -\frac{1}{2}[, b = -\frac{1}{2} \end{cases}$
отсюда получаем дополнительные ограничения на $\alpha: a+2 \le \alpha \le b+4 \Longrightarrow 1.5 \le \alpha \le 3.5$, подставили $a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2}$
Проверим аддитивность, пусть имеются 2 отрезка
$l_1 = [a_1; b_1[ \subset X$
$l_2 = [a_2; b_2[ \subset X: a_1 \le a_2$
Очевидно, что $l_1 \cup l_2 \in S \Leftrightarrow b_1 \ge a_2$, значит, если $l_1 \cap l_2 = \emptyset \Longrightarrow b_1 = a_2$
Тогда рассмотрим при
$b_1 = a_2 \Longrightarrow m(l_1 \cup l_2) = F(b_2) - F(a_1) = F(b_2) - F(b_1) + F(b_1) - F(a_1) =\\ = F(b_2) - F(a_2) + F(b_1) - F(a_1) = m(l_1) + m(l_2)$
Значит функция $m$ является мерой.
Проверим на σ-аддитивность.
Рассмотрим такие множества:
$A, A_1, A_2, ..., A_n, ... \in S: \\A = [a; b[, A_1 = [a; a + \frac{b-a}{2}[, A_2 = [b_1; b_1 + \frac{b-b_1}{2}[, ..., A_n = [b_{n-1}, b_{n-1} + \frac{b-b_{n-1}}{2}[$
В таком случае
$A = \bigsqcup\limits_{k=1}^\infty A_k$
Покажем, что $m(A) = \sum\limits_{k=1}^\infty A_k$
Учитывая, что $A_i \cap A_j = \emptyset, i\ne j$, получаем, что конечная сумма $m([a; b_n[) = \sum\limits_{k=1}^n A_k$, переходя к пределу
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {m([a; b_n[)} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} {\sum\limits_{k=1}^n A_k}$
$b_n \rightarrow\limits_{n \rightarrow \infty} b$
значит
$m(A) = \sum\limits_{k=1}^\infty A_k$

получается σ-аддитивная мера.