Представление билинейной формы.

[main.c]

Нужно доказать, что любую билинейную функция $f$ ранга 1 можно представить в виде произведения 2 линейных функций: $p(x)q(x)$.
Для начала хотелось бы понять, зачем нам дан ранг, по определению это ранг матрицы этой билинейной функции. Но что нам это даёт?

-- 20.04.2014, 20:19 --

Всё, кажется я понял, зачем ранг.
Матрица билинейной функции $f$ имеет вид $(\lambda_ia_j)$.
Тогда если мы возьмём функции:
$p(x) = \lambda_1x_1 + \lambda_nx_n$
$q(x) = a_1x_1 + a_nx_n$,
То их произведение как раз будет равно этой билинейной функции.

-- 20.04.2014, 20:31 --

Ещё в задании был вопрос, к какому простейшему виду можно привести эту матрицу заменой базиса?

[ewert]

Я, строго говоря, не знаю, что такое "ранг билинейной функции формы". Но смутно подозреваю, что это попросту ранг соотв. матрицы.

В таком случае всё тривиально. Матрица единичного ранга -- это просто матричное произведение столбца на строку. По тривиальным причинам: у неё все строчки пропорциональны, ну и все столбцы аналогично.

main.c в сообщении #852273 писал(а):

Ещё в задании был вопрос, к какому простейшему виду можно привести эту матрицу заменой базиса?

К матрице с только первым ненулевым столбцом. Хотя формулировка "к какому простейшему" -- естественно, издевательская. Кто их, пчёл, разберёт; чего им приспичит принять за "простейшее".

[patzer2097]

по поводу простейшей формы: можете попробовать доказать, что Вашу форму можно привести к виду $cE_{11}$ или $E_{12}$, где $E_{ij}$ - матричная единица
в частности, к первому виду можно привести если и только если ядра у Ваших $p$ и $q$ совпадают