2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость интеграла
Сообщение20.04.2014, 14:50 
Помогите найти значения параметра a, при которых сходится данный интеграл:
$$\int_{0}^{\infty} \frac {\ e ^{ax}} { \ (x-1)^a \ln(x)}  dx$$
Не знаю с чего начать, может быть через признаки сравнения, однако не очень понимаю, как это делать на бесконечности.

 
 
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение20.04.2014, 15:13 
Ivan410 в сообщении #852146 писал(а):
Помогите найти значения параметра a, при которых сходится данный интеграл:
$$\int_{0}^{\infty} \frac {\ e ^{ax}} { \ (x-1)^a \ln(x)}  dx$$
Не знаю с чего начать, может быть через признаки сравнения, однако не очень понимаю, как это делать на бесконечности.

(Оффтоп)

Если это на $+\infty$, то только при $a<0$, т.к. можно рассмотреть такой его хвост $x>x_0$ при $x_0 \colon \dfrac{e^{ax}}{(x-1)^a\ln x}<\alpha^x \quad \forall x>x_0$ для некоторого $\alpha<-1$, поэтому, в силу сходимости $\int\limits_{0}^{+\infty}{\alpha^x}dx$, будет и сходимость исходного НИ. Если же $a\geqslant 0$, то НИ расходится ибо при $a>0$ его знакопостоянный положительный "хвост" не стремится к нулю, а при $a=0$ имеем расходящийся НИ $\int\limits_{0}^{+\infty}{\dfrac{1}{(x-1)\ln x}}dx$.
Так?
Upd. Еще особенность $x=1$. В ней необходимо использовать признак сравнения, считая $e^{ax}$ - как "почти константу", и учитывая $x-1 = \ln x + o(x-1)$, получаем, что $a<0$.

 
 
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение20.04.2014, 15:35 
Terraniux в сообщении #852156 писал(а):
$x>x_0$ при $x_0 \colon \dfrac{e^{ax}}{(x-1)^a\ln x}<\alpha^x \quad \forall x>x_0$ для некоторого $\alpha<-1$

Можете поподробней объяснить этот шаг? Непонятно, как вы перешли к такому неравенству.

 
 
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение20.04.2014, 15:37 
Аватара пользователя
 !  Terraniux, замечание за полное решение учебной задачи

 
 
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение20.04.2014, 15:41 
Ivan410 в сообщении #852172 писал(а):
Но ведь при a<0 интеграла от показательной функции не существует, как так?

(Оффтоп)

Извиняюсь, $0<\alpha<1$

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group