Кольцо, Сигма-кольцо, алгебра счетное объединение множеств

[Pisarik]

Добрый день.
Есть задача и непонятки:)

Образует ли кольцо, сигма-кольцо, алгебру система множеств: все ограниченные множества на прямой?

я так понимаю, что является кольцом, т.к. если есть некие отрезки $[a;b]$и $[c;d]$, то их объединение и симметрическая разность также являются ограниченными множествами.
но не является алгеброй, потому что не содержит единицу кольца, т.е. $(-\infty; +\infty)$.
и теперь самое непонятное - это сигма-кольцо.
если объединить бесконечное число отрезков, то по сути получится та же единица кольца, а с другой стороны множество R - не счетно и поэтому нельзя утверждать, что получится единица кольца.

Возможно сейчас я написал полную ахинею:) Буду очень благодарен, если поможете разложить все по полочкам.

[kp9r4d]

Это не сигма-кольцо, потому что счётное объединение ограниченных множеств не обязательно ограничено.

[Pisarik]

kp9r4d в сообщении #851892 писал(а):

Это не сигма-кольцо, потому что счётное объединение ограниченных множеств не обязательно ограничено.

а если например счетное объединение конечных множеств, то тогда уже будет сигма-кольцо?
Можете объяснить как надо рассуждать?

[Otta]

Pisarik в сообщении #851889 писал(а):

Образует ли кольцо, сигма-кольцо, алгебру система множеств: все ограниченные множества на прямой?

Будет очень хорошо, если Вы напишете все нужные определения, а потом воспользуетесь ими.
Упоминание отрезков здесь не очень понятно, к чему.

[Pisarik]

Otta в сообщении #851896 писал(а):

Pisarik в сообщении #851889 писал(а):

Образует ли кольцо, сигма-кольцо, алгебру система множеств: все ограниченные множества на прямой?

Будет очень хорошо, если Вы напишете все нужные определения, а потом воспользуетесь ими.
Упоминание отрезков здесь не очень понятно, к чему.

Х - непустое множество.
Семейство $K \subset P(X)$ называется кольцом, если $\forall A, B \in X \Longrightarrow A \cup B \in X\ and\ A\triangle B \in X$
Кольцо K образует алгебру, если $X \in K$ и X в таком случае называется единицей кольца.
Кольцо К называется сигма-кольцом, если помимо множеств $A_1, A_2, ...$ оно содержит и счетное объединение этих множеств, т.е. $\cup\limits_{i=1}^\infty A_i$
Множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Ограничено сверху, если $\forall x \in X \Longrightarrow x \le b, b = {const}$ ну и снизу соответственно.

Я так понял, что отрезок, объединение отрезков - это ограниченные множества на прямой.
Не понятно в данном случае, что будет за множество из бесконечно много объединенных ограниченных множеств? По идее ведь можно взять бесконечно маленькие отрезки, тогда возникает какая-та неопределенность. Хотя если надо объединение всех множеств, то тогда отрезок будет стремится к $(-\infty; +\infty)$

уфф.. первый раз пишу с использованием LaTeX:) долго вышло:)

[Otta]

(Оффтоп)

Pisarik в сообщении #851914 писал(а):

уфф.. первый раз пишу с использованием LaTeX:) долго вышло:)

Ага, вот те буковки, которые по одной, тоже в доллары загонять надо, чтобы как формула выходило.

Да.. а все-таки, давайте напишем определение полностью.
Множество $M$ называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу (как Вы и написали), то есть... а дальше детальнее.

[Pisarik]

Otta в сообщении #851919 писал(а):

(Оффтоп)

Pisarik в сообщении #851914 писал(а):

уфф.. первый раз пишу с использованием LaTeX:) долго вышло:)

Ага, вот те буковки, которые по одной, тоже в доллары загонять надо, чтобы как формула выходило.

Да.. а все-таки, давайте напишем определение полностью.
Множество $M$ называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу (как Вы и написали), то есть... а дальше детальнее.

Множество $M$ ограничено сверху, если найдется такое $b$, что $\forall x \in M \Longrightarrow x \le b$
Множество $M$ ограничено снизу, если найдется такое $a$, что $\forall x \in M \Longrightarrow x \ge a$

Отрезок по-моему как раз является таким множеством, как в принципе и объединение отрезков или конечных точек.

[SpBTimes]

Так, ну это если все одномерно. А в чем дальнейшая проблема?

[Otta]

Pisarik в сообщении #851923 писал(а):

Отрезок по-моему как раз является таким множеством, как в принципе и объединение отрезков или конечных точек.

Так, да не так. Отрезок является таким множеством, но не всякое такое множество - отрезок.

Ну, поехали. Проверяем, что Ваша система - кольцо. Проверяйте.

[Pisarik]

SpBTimes в сообщении #851927 писал(а):

Так, ну это если все одномерно. А в чем дальнейшая проблема?

В чем для меня проблема определить $\cup\limits_{i=1}^\infty A_i \in X$?
не могу понять, что это будет за объединение такое. Неопределенность в голове возникает, потому что например отрезок от $[0; 1]$ можно разбить на бесконечно число подотрезков. Ну что-то в голове неопрделенность возникает что-то вроде неопределенности пределе: бесконечность делить на бесконечность. Наверное я что-то не так понимаю

[Otta]

Pisarik в сообщении #851931 писал(а):

В чем для меня проблема определить $\cup\limits_{i=1}^\infty A_i \in X$?

Не надо спешить. Проверьте хотя бы аксиомы кольца. Хотя бы

Pisarik в сообщении #851914 писал(а):

$\forall A, B \in X \Longrightarrow A \cup B \in X$

И многое должно проясниться. Наверное.

[Pisarik]

Otta в сообщении #851930 писал(а):

Ну, поехали. Проверяем, что Ваша система - кольцо. Проверяйте.

Пусть заданы некоторые ограниченные множества на прямой
$X_1: \forall x \in X_1 \Longrightarrow a_1 \le x \le b_1 $
$X_2: \forall x \in X_2 \Longrightarrow a_2 \le x \le b_2 $

1) \begin{equation} $X_1 \cup X_2 = X_3$ \end{equation}, где $X_3: \forall x \in X_3 \Longrightarrow \min(a_1, a_2) \le x \le \max(b_1, b_2)$

2) \begin{equation} $X_1 \triangle X_2 = (X_1 \cup X_2) \setminus (X_1 \cap X_2) = X_3 \setminus X_4$ \end{equation}, где $X_3$ - объединение множеств, а $X_4$ - пересечение.

$X_3: \forall x \in X_3 \Longrightarrow \min(a_1, a_2) \le x \le \max(b_1, b_2)$
$X_4: \forall x \in X_4 \Longrightarrow \max(a_1, a_2) \le x \le \min(b_1, b_2)$

и после вычитания $X_4$ из $X_3$ получим множество
$X_5: \forall x \in X_5 \Longrightarrow \min(a_1, a_2) \le x \le \max(b_1, b_2)$
т.е. ограниченное множество $\Longrightarrow$ это семейство - кольцо по определению.

[Otta]

Первый пункт - хорошо, а второй очень невнятен. Какими константами Вы в итоге ограничиваете и почему?

Вообще, ограниченность лучше понимать геометрически. Я же не зря просила Вас выписать определение полностью.

Pisarik в сообщении #851923 писал(а):

Множество $M$ ограничено сверху, если найдется такое $b$, что $\forall x \in M \Longrightarrow x \le b$
Множество $M$ ограничено снизу, если найдется такое $a$, что $\forall x \in M \Longrightarrow x \ge a$

Из него видно, что множество (на прямой) ограниченно в точности тогда, когда найдется отрезок, его накрывающий.
В п.1 Вы концы этого отрезка указали явно. Хорошо бы понять, откуда они возьмутся в п.2.

[Pisarik]

Если рассуждать геометрически, то есть отрезок $[a_1; b_1]$ и $[a_2; b_2]$, симметрическая разность - это объединение отрезков без их пересечения, значит останутся "внешние" концы объединения, т.е. $[\min(a_1;a_2); \max(b_1; b_2)]$

[Otta]

У Вас множества есть. Два. Ограниченных. Вы их симм. разность должны брать, а не каких-то там отрезков. Вот и берите.