Теорвер - формула полной вероятности (вроде)

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей:

В урну, содержащую $n$ шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Мое решение:

Пусть $A = \{ \text{извлечен белый шар} \}$.

Гипотезы: $H_{i} = \{ \text{изначально было i белых шаров} \}$, $0 \leq i \leq n$.

Вероятности гипотез: $p(H_{i}) = \frac{1}{n}$.

Условные вероятности (извлечен белый шар, если изначально было $i$ белых шаров): $p(A | H_{i}) = \frac{i+1}{n+1}$, $0 \leq i \leq n$.


По формуле полной вероятности: $p(A) = \sum\limits_{i=0}^{n} p(H_{i}) p(A | H_{i}) = \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{i+1}{n+1} = \frac{1}{n} + \frac{1}{2}$.

С ответом не сходится... Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так

Спасибо!

[Otta]

Limit79 в сообщении #851830 писал(а):

Гипотезы: $H_{i} = \{ \text{изначально было i белых шаров} \}$, $0 \leq i \leq n$.

Вероятности гипотез: $p(H_{i}) = \frac{1}{n}$.

И какова будет сумма этих вероятностей? )) (Самопроверка)

[Limit79]

Otta
$\frac{n+1}{n}$?

Тяжело в общем виде решать.

Например, если было $0$, $1$, $2$ или $3$ белых шара, то вероятности этих гипотез $\frac{1}{4}$, в общем же случае $p(H_{i}) = \frac{1}{n+1}$?

[Otta]

Вот-вот.

[Limit79]

Otta
А условные вероятности получились $p(A | H_{i}) = \frac{i+1}{n+1}$.

Тогда

$$p(A) = \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1}{n+1} \cdot \frac{i+1}{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2} \cdot \sum\limits_{i=0}^{n} ( i+1) = \frac{1}{(n+1)^2} \cdot (1+2+3+...+n+1)$$

Арифметическая прогрессия, $a_{1} = 1, a_{n} = n+1$.

Сумма:

$$ \sum\limits_{i=0}^{n} ( i+1) = \frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n = \frac{1+n+1}{2} \cdot n = \frac{n^2+2n}{2}$$

В сумме, скорее всего где-то ошибка, может из-за индексов

[Otta]

А хто-то сумму прогрессии считать не умеет.

[Limit79]

Otta
Вроде бы так:

$$p(A) = \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1}{n+1} \cdot \frac{i+1}{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2} \cdot \sum\limits_{i=0}^{n} ( i+1) = \frac{1}{(n+1)^2} \cdot \left ( 1+ \sum\limits_{i=1}^{n} ( i+1) \right ) =$$

$$a_{1} = 2, a_{n}=n+1, S_{n} = \frac{2+n+1}{2} \cdot n$$

$$= \frac{1}{(n+1)^2} \cdot \left ( 1+ \frac{2+n+1}{2} \cdot n \right) = \frac{n+2}{2 (n+1)}$$

[Otta]

Ну перестарался, конечно, но в итоге вроде все правильно.

[Limit79]

Otta
Перестрался -- вынес первое слагаемое?

[Otta]

Ага. А так будто бы та же формула не годилась.

[Limit79]

Otta
Пробовал, где-то ошибка возникла

$$ \sum\limits_{i=0}^{n} ( i+1) = \frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n = \frac{1+n+1}{2} \cdot n = \frac{n^2+2n}{2}$$

Или тут $a_{n} = n+2$?

[Otta]

Вот и найдите ее. Это очень полезно - искать свои ошибки.

[Limit79]

Otta

(Тут все неверно, но мысли в эту сторону)

В формуле для суммы арифметической прогрессии суммирование идет от $1$ и до $n$, у меня же суммирование идет с $0$ до $n$, чтобы у меня суммирование было с $1$, нужно сверху написать $n+1$?

То есть $\sum\limits_{n=0}^{n} a_{n} = \sum\limits_{n=1}^{n+1} a_{n}$

Ошибка из-за того, что у меня сумма с нуля идет, а в формуле для суммы прогрессии -- с единицы, но без вынесения первого слагаемого - не получается.

[Otta]

Limit79 в сообщении #851847 писал(а):

$$ \sum\limits_{i=0}^{n} ( i+1) = \frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n = \frac{1+n+1}{2} \cdot n = \frac{n^2+2n}{2}$$

Какая разница, кто с кого идет. У Вас в прогрессии слагаемых сколько? Сколько подряд идущих натуральных чисел суммируется?

[Limit79]

Otta в сообщении #851900 писал(а):

Сколько подряд идущих натуральных чисел суммируется?

$n+1$, и тогда $a_{n}=n+1+1=n+2$ ?