Предел функции

[ex-math]

(Оффтоп)

TOTAL
Я вовсе не хочу сказать, что у Вас плохое решение.
Просто я в подобных задачах привык рассматривать частичные суммы и оперировать равенствами, содержащим $O$. Часто это помогает там, где подходы вроде Вашего требуют вспоминать условия каких-то теорем о перестановке предельных переходов. И в любом случае это проясняет ситуацию, позволяет видеть, что именно происходит при каком-то предельном переходе. В конечном счете, это дело вкуса.
Но Ваш подход позволяет сэкономить время. Похожая ситуация с доказательством функционального уравнения для $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-\pi n^2x}$ -- можно долго и нудно расписывать остатки, а можно доказать коротко с применением теоремы Фейера.