Продолжаемость решений ОДУ

[Varravann]

День добрый!

У меня есть несколько вопросов, связанных с продолжаемостью решений нелинейных ОДУ (обыкн.диф.уравнений) на бесконечный интервал:

1) В какой книжке можно посмотреть точную формулировку теоремы о мажорировании решения ОДУ решением другого ОДУ и следующей из этого продолжаемости решения первого ОДУ? (Я имею в виду теорему, о том, что если правая часть некоторой нормальной системы ОДУ "в некотором смысле" заключена между правыми частями двух других систем ОДУ, про которые известно, что их решения существует при любом t, то решение первой системы ОДУ так же существует при любом t.) Просто этим в приложениях много где пользуются, но везде по-разному и зачастую очень нестрого.

2) Есть ли другие стандартные приемы доказательства того, что решение некоторой системы нелинейных ОДУ продолжаемо до бесконечности по времени?

3) Есть ли стандартные приемы доказательства того, что решение системы ОДУ сходится к стационару при t стремящемся к бесконечности (особенно если у системы несколько положений равновесия и начальные данные лежат далеко от них всех)?

[MMyaf]

2)Например, с помощью теоремы:
Любое решение системы ДУ

$$x'=f(t,x)$$

, где

$$a< x < b$$

продолжимо на интервал (a, b),если выполнено условие:
Существуют функции u(t),v(t) непрерывные на (а,b):

$$||f(t,x)||\leqslant u(t)||x||+v(t)$$

Более подробно эта теорема рассматривается в книгах, например:
Бибиков Ю.Н. "Обыкновенные дифференциальные ур-ния" стр.61.
Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.

[Varravann]

MMyaf
а) Может, все-таки a<t<b?

б) У меня нелинейность, к сожалению, как минимум квадратичная (а бывает вообще и полюс на границе), так что условие это условие "почти-липшецовости" тут не прокатывает (если учесть, что речь идет о продолжении решения до бесконечности, а не о конечном интервале).

в) Если задуматься, вышепреведенная теорема - это есть фактически мажорирование линейной системой с переменными коэффициентами. В Бибикове или Филиппове случаем нет той теоремы, о которой я спрашивал в п.1?

P.S. Чисто технический вопрос... У меня почему-то не загружаются GIFки с псевдоТеХовыми формулами (хотя все остальные картинки с этого форума грузятся нормально). Это как-то лечится?

[MMyaf]

а) Именно так
б)
в) Что касается метода мажорирования, то его в книге Бибикова Ю.Н. я не встречал, в Филиппове - ничего не могу сказать, не помню.
Поэтому, видимо, ничем Вам не помогу.

[V.V.]

Varravann писал(а):

В какой книжке можно посмотреть точную формулировку теоремы о мажорировании решения ОДУ решением другого ОДУ и следующей из этого продолжаемости решения первого ОДУ?

[Varravann]

Так... Я тут поразбирался и много чего понял.

В общем, осталась одна проблема - нужна книга, где в явном виде доказывается следующая теорема:

рассматривается уравнение dx/dt=f(t,x), x(0)=x0;
если f(t,x) в некоторой области G их RxR^n (т.е. прямого произведения пространств R^1 и R^n, где n - размерность x) непрерывна и липшецева (ну или непрерывно дифференцируема), и точка (0,x0) лежит в G, то решение диф.уравнения существует, единственно и продолжимо до границы области G.

Отличие от "обычной" теоремы заключается в том, что в простом случае в качестве G выбирают "гиперпараллепипед" с центром в (0,x0), а тут область G может быть почти какой угодно.

В общем, если кто-то видел доказательство этого дела, то я был бы крайне благодарен за библиографическую ссылочку.

====================================

V.V.
За книжку - гран мерси, но в ней, к сожалению, нет большинства доказательств и нет именно той теоремы, которую я искал.