Измеримые функции

[Sart]

Не могу разобраться с одним вроде как простым вопросом. $X, Y$ - измеримые пространства, есть функция $f : X\times [0; 1] \rightarrow {\mathbb R}$, для любого фиксированного $t$, $f(x,t)$ измерима как функция от $x$, есть измеримая $g : Y \rightarrow [0; 1] $, всегда ли $f(x, g(y))$ измерима? Меня смущает, что прообраз борелевского $B$ будет $\cup_{t \in [0;1]} f^{-1}(B) \times g^{-1}(t)$ - континуальное объединение, вроде как не всегда обязано лежать в сигма-алгебре произведения. Но контрпример построить не могу.

[mihailm]

Sart в сообщении #850656 писал(а):

...$X, Y$ - измеримые пространства...

Что такое измеримые пространства?

[Sart]

mihailm в сообщении #850658 писал(а):

Sart в сообщении #850656 писал(а):

...$X, Y$ - измеримые пространства...

Что такое измеримые пространства?

Ну, пара: множество + выделенная сигма-алгебра подмножеств в нём.

[g______d]

Смущает, что ничего не сказано про измеримость $f$ по второму аргументу. Например, пусть $S\subset [0,1]$ — неизмеримое множество, и пусть $f(x,t)=1$ при $t\in S$ и $f(x,t)=0$ при $t\notin S$, $Y=[0,1]$, $g(y)=y$.