Обобщенные сферические координаты

[geezer]

Надо найти объем тела, ограниченного поверхностью: $ (x^2 + z^2)^2 + y^4 = 3xyz $

Делаю замену на обобщенные сферические координаты:
$ x = ar\cos^\alpha{\phi}\cos^\beta{\psi}$
$ y = br\sin^\alpha{\phi}\cos^\beta{\psi}$
$ z = cr\sin^\beta{\psi}$

Подбираем коэффициенты под задачу: $ a = b = c = 1; \alpha = 0; \beta = 1. $

Получаем: $ (r^2\cos^2{\psi} + r^2\sin^2{\psi})^2 + r^4\cos^4{\psi} = 3r^3\cos^2{\psi}\sin{\psi} \Rightarrow r = \frac{3 \cos^2{\psi} \sin{\psi}}{1+\cos^4{\psi}} $


Якобиан: $\frac{r^2 \cos{\psi}}{\cos{\phi} \sin{\phi}}$

Итого: $ \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\psi \int_{0}^{\frac{3 \cos^2{\psi} \sin{\psi}}{1+ \cos^4{\psi}}}\frac{r^2 \cos{\psi}}{\cos{\phi} \sin{\phi}} dr $

Вопрос: что не так? Если считать эти интегралы, то выходит как - то очень все не хорошо...

-- 16.04.2014, 18:03 --

Хм,я вот о чем сразу не подумал: если $\alpha = 0$, то якобиан равен нулю, и вычислять эти интегралы уже бессмысленно...

[Munin]

Откуда вы такие "координаты" взяли? Если $\alpha=0,$ то у вас первая и вторая строчка совпадают, и якобиан обнуляется.

[geezer]

Я же так и написал,когда осознал свою ошибку...

[Munin]

Пара замечаний. Для умножения не надо писать звёздочку. Можно ставить просто буквы рядом, а если очень надо разделитель - можно использовать пробел, точку или крестик.
Для синусов и косинусов есть специальные команды, которые пишут их прямым шрифтом и с улучшенными пробелами.

[geezer]

Некоторые соображения...

Если $ \alpha \neq 0 $ то в скобках не получится упростить по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому предполагаю, что надо раскрыть скобки. Если раскроем скобки, то получим x,y и z в 4 - ой степени, поэтому предполагаю,что разумно было бы взять $ \alpha = \frac{1}{2} $, $ \beta = \frac{1}{2} $. Но все равно как-то не очень все хорошо в интегралах получается.

[provincialka]

Если у вас в первой скобке $x$ и $z$, поменяйте $y$ и $z$ и в записи замены координат.

[geezer]

provincialka в сообщении #850605 писал(а):

Если у вас в первой скобке $x$ и $z$, поменяйте $y$ и $z$ и в записи замены координат.

Да,в скобке $x$ и $z$.

То есть, будет так?

$ x = ar\cos^\alpha{\phi}\cos^\beta{\psi}$
$ y = br\sin^\beta{\psi}$
$ z = cr\sin^\alpha{\phi}\cos^\beta{\psi}$

Простите,если вопрос покажется вам глупым,но чем объясняется возможность такой замены? Просто формулу я взял в Демидовиче, а там ничего про такое не говорилось.

[provincialka]

вроде естественно взять $\alpha=1,\beta=\frac12$. Тут еще проблемы с расстановкой пределов интегрирования. Из исходного уравнения видно, что правая часть должна быть положительной, что наблюдается в половине всех октантов. Значит, можно взять первый октан и результат умножить на 4.

[geezer]

То есть,для углов пределы такие будут?

От 0 до $ \frac{\pi}{2} $

[provincialka]

Угу. Других ограничений вроде нет. Я посчитала на скорую руку, потом сверим ответы.

[geezer]

Получил ответ $ \frac{3}{2} $

[provincialka]

У меня в 4 раза меньше. Щас проверю.

-- 16.04.2014, 23:28 --

Нет. Получается 3/8

[geezer]

Да,в самом деле,я нашел,где я забыл на 4 поделить. Благодарю за помощь.