Теория вероятностей и эксперимент

[B@R5uk]

Подскажите, пожалуйста, как правильно исследовать случайные экспериментальные данные и проверять их на то, что они с какой-то точностью (и вероятностью) соответствуют теории.

Меня пока интересует простейший случай. Допустим, имеется временная последовательность случайных событий, которые между собой не связаны. Доказывается, что величина, равная количеству таких событий за фиксированные промежуток времени является распределением Пуассона. Отсюда напрашивается следующий экспериментальный способ проверки независимости событий.

Зафиксируем временной интервал, на котором будем подсчитывать события. Зафиксируем так же и количество таких интервалов, по совокупности которых будем строить гистограмму распределения. Её с помощью МНК аппроксимируем распределением Пуассона. Величина отклонений этой практической гистограммы от оптимальной теоретической (получаемой при количестве интервалов стремящихся к бесконечности) будет характеризовать (с учётом погрешности метода, возникшего из-за конечного числа временных интервалов) величину неслучайности случайных событий.

Однако, в этом методе имеется, на мой взгляд, концептуальный недостаток. Когда мы подсчитываем количество событий на временном интервале, то мы отбрасываем большое количество информации. Ведь если интервал большой, то на нём так же можно провести эту операцию: разбить на меньшие временные интервалы и построить гистограмму.

В связи с этим возникает вопрос. Как можно изучать эту последовательность случайных событий, не строя гистограммы, а используя всю информацию, которую несёт эта последовательность?

[Ms-dos4]

Если событий много - то пуассон "перейдёт" в гаусс. А далее используйте КС-тест или "хи-квадрат".

[ridge]

B@R5uk в сообщении #850213 писал(а):

Её с помощью МНК аппроксимируем распределением Пуассона.

Это что значит? Вообще-то считают просто теоретические частоты в предположении о пуассоновском распределении... За параметр Пуассона принимают выборочное среднее и считают теоретические вероятности, а потом теоретические частоты. При каких делах МНК?

И опять же. Если есть предположение о распределении Пуассона, то случайная величина - "равная количеству таких событий за фиксированные промежуток времени" принимает значения 0; 1; 2; 3....
что такое "оптимальной теоретической (получаемой при количестве интервалов стремящихся к бесконечности)"???

[B@R5uk]

Ms-dos4 в сообщении #850216 писал(а):

Если событий много - то пуассон "перейдёт" в гаусс. А далее используйте КС-тест или "хи-квадрат".

Вы предлагаете двигаться в прямо противоположном направлении, относительно того, куда хочу двигаться я.

ridge в сообщении #850221 писал(а):

И опять же. Если есть предположение о распределении Пуассона, то случайная величина — "равная количеству таких событий за фиксированные промежуток времени" принимает значения 0; 1; 2; 3....
что такое "оптимальной теоретической (получаемой при количестве интервалов стремящихся к бесконечности)"???

Прошу прощения, не совсем понятно объяснил предложенный выше метод.

Распределение Пуассона (с одном параметром $\overline{n}$) -- это вероятность $p(n)$, где n — целое число. Чтобы получить из экспериментальной последовательности случайных событий данные, которые можно этой теоретической последовательностью аппроксимировать, делается следующее. Весь временной промежуток эксперимента разбивается на равные временные интервалы и на каждом из них подсчитывается число событий. Далее эта информация сводится в гистограмму, представляющую собой таблицу, в первом столбце которой — количество событий на интервале, во втором — отношение количества интервалов с соответствующим числом событий к общему числу интервалов. Эта гистограмма в пределе даёт распределение Пуассона. Она и обрабатываются с помощью МНК, чтобы получить параметр $\overline{n}$.

Но это примитивный метод. Он отбрасывает большую часть информации, которая была в исходной последовательности событий.

Давайте, я ещё уточню, что я понимаю, что значит исходная экспериментальная последовательность. Имеется временной промежуток эксперимента, на котором заданы временные координаты всех попавших на этот промежуток случайных событий.

[Ms-dos4]

Скажите подробнее, что меряется в эксперименте, и собственно, что требуется - определить, действительно ли это распределение Пуассона, или вам нужно найти мат.ожидание/дисперсию (они у распределения Пуассона одинаковы)?

[B@R5uk]

Ms-dos4 в сообщении #850231 писал(а):

Скажите подробнее, что меряется в эксперименте

B@R5uk в сообщении #850227 писал(а):

Имеется временной промежуток эксперимента, на котором заданы/измерены временные координаты всех попавших на этот промежуток случайных событий.

Ms-dos4 в сообщении #850231 писал(а):

и собственно, что требуется

Концептуально новый подход, отличный от того, что я описал выше, и использующий максимально большее количество экспериментальной информации.

-- 15.04.2014, 22:55 --

Вообще, я тут подумал зайти к этой проблеме с тыла: для начала не анализировать реальный эксперимент, а попытаться смоделировать идеальный эксперимент. Наткнулся на интересную статью. Пока что есть над чем подумать.

[Ms-dos4]

B@R5uk в сообщении #850227 писал(а):

Имеется временной промежуток эксперимента, на котором заданы/измерены временные координаты всех попавших на этот промежуток случайных событий.

Вот из этого я ничего не понял. Вы меряете количество событий за определённый промежуток времени что ли? Например как измерение числа радиоактивных распадов?

[provincialka]

Ms-dos4 в сообщении #850216 писал(а):

Если событий много - то пуассон "перейдёт" в гаусс. А далее используйте КС-тест или "хи-квадрат".

я так понимаю, что КС - это Колмогоров-Смирнов? А разве он связан именно с нормальным распределением?

[Ms-dos4]

provincialka
Нет, не обязательно, там можно проверять и на другие законы распределения (а в двухпараметрическом и сравнивать) Просто в физике, например когда вы меряете число срабатываний детектора (число радиоактивных распадов), там фактически тоже распределение Пуассона. Но на это все забивают, т.к. при достаточно большой выборке (а другую делать и нельзя) оно неотличимо от нормального (а уж на него то справочных материалов выше крыши, и критические значения статистик и пр., все стат. программы могут проверять на нормальность). И смысл возиться с Пуассоном?