Скалярное произведение.

[main.c]

Функция $f$ определена так:
$f(x,y) = xy(a)$, где $x, y \in C[a,b]$

Является ли она скалярным произведением?

$f(x,x) = x^2(a) \geqslant 0$, $x^2(a) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = 0$
$f(x,y) = xy(a) = yx(a) = f(y,x)$
$f(x+y, z) = (x+y)z(a) = xz(a) + yz(a) = f(x,z) + f(y,z)$
$f(\lambda x, y) = (\lambda x)y(a) = x(\lambda y)(a) = f(x, \lambda y)$

Все аксиомы скалярного произведения выполняются, так что мой ответ "да", в задачнике ответ "нет", где у меня ошибка?

[Xaositect]

main.c в сообщении #849238 писал(а):

$x^2(a) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = 0$

Это почему?

[Munin]

Аналогичный конечномерный вопрос: является ли $a_1b_1$ скалярным произведением?

[main.c]

Xaositect в сообщении #849243 писал(а):

main.c в сообщении #849238 писал(а):

$x^2(a) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = 0$

Это почему?

Ну конечно, берём функцию $y = x-a$, она не является нулевой и её квадрат в точке $a$ равен нулю.
Значит не является скалярным произведением, спасибо.

Munin в сообщении #849261 писал(а):

Аналогичный конечномерный вопрос: является ли $a_1b_1$ скалярным произведением?

Не совсем понимаю Ваш вопрос, но если речь идёт о пространстве $R^n, n > 1$, то конечно же нет: можно взять бесконечно много не нулевых векторов, у которых $a_1b_1 = 0$.

[Munin]

main.c в сообщении #849280 писал(а):

Не совсем понимаю Ваш вопрос, но если речь идёт о пространстве $R^n, n > 1$, то конечно же нет: можно взять бесконечно много не нулевых векторов, у которых $a_1b_1 = 0$.

Правильно поняли мой вопрос. Так вот, предлагаемое выражение с функциями - аналогично тому, что я написал для векторов. Вот и ответ будет аналогичен.

[arseniiv]

Ага. Аналогия в том, что и $x\mapsto x_1$, и $f\mapsto f(a)$ — проекции на собственное подпространство.