Дифф. оператор, устойчивый/неустойчивый на разных решениях

[BasilKrzh]

Рассмотрим задачу для некоторого (интегрально-)дифференциального оператора $\hat{L}$ ($D$ - область с гладкой границей $\partial D$ и всем, что необходимо ):
$\begin{cases} \hat{L}y(x) = f(x), x\in D\\ \hat{l}y(x) = \phi (x), x\in \partial D\\ \end{cases}$

Под устойчивостью решения $ y_{1}(x)$ (с соответствующими $f_{1}(x)$ и $\phi_{1}(x)$) будем понимать
$\exists m,n \in R, m,n > 0: ||y_{1} - y_{2}|| \leqslant m||f_{1}- f_{2}|| + n ||\phi_{1}-\phi_{2}||$ для достаточно малых $||f_{1}- f_{2}||=||\delta f||$ и $||\phi_{1}-\phi_{2}|| = ||\delta\phi||$ при разумно выбранной норме.

Понятно, что если оператор $\hat{L}$ линеен, то устойчивость равносильна устойчивости на нулевом решении, то есть $\exists m,n \in R, m,n > 0: ||y|| \leqslant m||f|| + n ||\phi||$ для достаточно малых $||f||$ и $||\phi||$.

При этом, кажется вполне понятном, что для нелинейного оператора $\hat{L}$ может существовать такая ситуация, когда решение $ y_{1}(x)$ (с соответствующими $f_{1}(x)$ и $\phi_{1}(x)$) устойчиво, а решение $ y_{2}(x)$ (с соответствующими $f_{2}(x)$ и $\phi_{2}(x)$) -- нет (поскольку непрерывность нелинейного оператора на каком-либо решении вовсе не равносильна его непрерывности в 0, как это было в случае линейного).

Не мог бы кто-нибудь из уважаемых членов сообщества подсказать простенькую задачу, для которой можно аналитически найти пару таких решений, или посоветовать, где можно посмотреть?

[BasilKrzh]

Если что, $D \subset R^n (D \subset C^n)$;
для случая 2-х переменных
$u(x) = u(x^{(2)}, x^{(2)})$,
$\hat{L}u = a(x^{(1)}, x^{(2)}, u)u_{x^{(1)}x^{(1)}}+b(x^{(1)}, x^{(2)}, u) u_{x^{(1)}x^{(2)}} + c(x^{(1)}, x^{(2)}, u)u_{x^{(2)} x^{(2)}}$
или что-то вроде того.

Что, совсем никаких идей?

[BasilKrzh]

То есть меня интересует дифференциальное уравнение (в частных производных), решение которого непрерывно зависит от одних начальных условий, и не непрерывно от других...

[BasilKrzh]

Наверное, я слишком мутно сформулировал, вопрос-то вроде несложный. Придумал:
$\begin{cases} \hat{L}x(t) = x_{t} - \sin x = 0, x\in [0, +\infty) \\ x(t=0) = x_{0}\\ \end{cases}$ $

тогда задача непрерывно зависит от г.у. только при $x_{0} \neq 2\pi n, n \in Z$