Дискретная математика и функциональный анализ

[Cat]

Здравствуйте, меня интересует как взаимосвязаны эти две дисциплины. Заранее благодарю за ответы.

[AD]

Мне взаимосвязи не удалось найти в свое время ...
Совсем непересекающиеся области. Просто по определению.

Хотя, может, знающие люди чего-нибудь и накопают.

[Brukvalub]

Как известно, одной из центральных задач дискретной математики является синтез асимптотически оптимальных схем из функциональных элементов. Один из моих знакомых, специалист по дискретной математике, как-то рассказывал мне, что есть работы, в которых также изучается синтез схем, но не из функциональных элементов, а из более сложных конструкций, элементами которых являются непрерывные отображения различных пространств. Тогда мне это было не очень интересно, поэтому деталей я не запомнил (да и было это минимум лет 15 назад). Возможно, связи между дискретной математикой и функциональным анализом следует искать именно здесь?

[Cat]

О, спасибо за ответ! А что подразумевается под асимптотически оптимальной схемой?

[Brukvalub]

Cat писал(а):

О, спасибо за ответ! А что подразумевается под асимптотически оптимальной схемой?

Это схема с асимптотически наименьшим количеством элементов.

[Freude]

Изучая численные методы, я понял, что часто эффективной является комбинация методов вариационного исчисления (Галеркина, Ритца) и методов дискретной математики. Наиболее яркий пример тому - метод конечных элементов. Область, в которой решается задача, разбивается на конечные элементы. В пределах этих элементов диф. ур. решается методом Галеркина, например. Без разбиения на элементы задачу не так просто решить "в лоб" вариационными методами, так как здесь возникает проблема с выбором базисных функций и сходимостью рядов (сколькими членами ряда ограничиваться). В пределах элементов решение ведет себя более-менее линейно, поэтому число членов ряда в этом случае минимально.

Даже если решать задачу только лишь вариционными методами без дискретизации, все равно придется подключать численные методы, так как в этом случае из диф. ур. мы получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения искомой функции в ряд. Эта система алгебраических уравнений, как правило, большая и решается численными методами.

Вариационное исчисление, насколько я понимаю, теснейшим образом связано с фунцкиональным анализом.

[Сомик]

Я думаю что можно сделать следующую связь.
Дискретная математика (теория автоматов) <---> Динамические системы (символическая динамика) <---> Функциональный анализ.
Дело в том, что в Символической динамике (Symbolic dynamics) с помощю конечных автоматов стоятся нектоторые метрические пространства бесконечных последовательностей. Там есть некоторая связь и с p-адическими числами. Самое интересное что на один и тот же объект (Sofic shfit - не знаю как будет это по-русски) можно смотреть как дискретной так и с континуальной точки зрения. И тогда понятие конечной-детерминированности будет эквивалентно понятию непрерывности.
Подробно можно посмотреть в Duglas Lind, Brian Marcus "An Introduction to Symbolic Dynamics and Coding". Cambridge Press 1995