Преобразование Лоренца для нелинейной среды

[evgeniy]

Формулирую проблему, на которую не знаю ответа. Допустим имеем нелинейную диэлектрическую среду, подчиняющуюся уравнению
$D_i=\varepsilon_{ik}^0 E_k+\varepsilon_{ikl}^1 E_k E_l+...$
Как быть с преобразованием напряженности электромагнитного поля в разных системах отсчета. Преобразования Лоренца не действуют для такого диэлектрика. Можно конечно второй член занулить, а третий записать в виде
$D_i=\varepsilon_{ik}^0 E_k+\varepsilon_{ik}^1| E|^2 E_k+...$
но преобразование Лоренца от модуля не существует.
Кроме того преобразование Лоренца изотропно, а здесь явная анизотропия. Но с этим еще можно бороться, построив преобразование Лоренца с тремя фазовыми скоростями, на подобие того, что я сделал в посте о преобразовании Лоренца с фазовой скоростью. Но как быть с модулем я не знаю. Кроме того, как мне кажется более общий вид имеет первая формула, а не вторая.
Возможно во второй формуле надо использовать инвариант $E^2-H^2$
$D_i=\varepsilon_{ik}^0 E_k+\varepsilon_{ik}^1( E^2-H^2) E_k+...$
Тогда останется добиться только инвариантности линейного преобразования анизотропного пространства. Проблема должна иметь решение, иначе преобразование Лоренца окажется не справедливым. Причем изотропное преобразование Лоренца не подходит.

[evgeniy]

Каким критериям должно удовлетворять это преобразование. Должен быть инвариантен интервал
$ds^2=dt^2-dx^2/c_1^2-dy^2/c_2^2-dz^2/c_3^2$
где направления dx,dy,dz пропорциональны собственным векторам тензора диэлектрической проницаемости. В случае изотропного пространства $c_1=c_2=c_3=c\sqrt{3}$ получаем стандартный метрический интервал. Где величины $1/c_1,1/c_2,1/c_3$ компоненты волнового вектора, или обратные величины фазовой скорости $\frac{\partial \tau}{\partial x_k}=\frac{1}{c_k}$ Осталось найти формулу преобразования.

[evgeniy]

(Оффтоп)

Извиняюсь, я случайно продублировал сообщение, пришлось уничтожить.

[Munin]

evgeniy в сообщении #847975 писал(а):

Преобразования Лоренца не действуют для такого диэлектрика.

Э нет. Действуют!

Просто действуют они в форме, описанной в ЛЛ-8, и в Википедии ( http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism#Covariant_objects_in_matter ). Вводятся два 4-мерных тензора поля: тензор поля $F^{\mu\nu}=(-\mathbf{E},\mathbf{B})$ и дополнительный тензор поля $H^{\mu\nu}=(-\mathbf{D},\mathbf{H}).$ Разница между ними - тензор поляризации $M^{\mu\nu}=(\mathbf{P},\mathbf{M}),$ $H^{\mu\nu}=F^{\mu\nu}-M^{\mu\nu}.$

И вот дальше важный момент. Поскольку поляризация связана со средой, то она не определяется только приложенным полем, как это было в нерелятивистской формулировке (с неподвижными диэлектриками и магнетиками). Она определяется ещё и 4-вектором скорости среды, так что в линейном случае

$$H^{\mu\nu}u_{\mu}=\varepsilon F^{\mu\nu}u_{\mu}\qquad\varepsilon^{\lambda\mu\nu\rho}H_{\lambda\mu}u_{\nu}=\dfrac{1}{\mu}\varepsilon^{\lambda\mu\nu\rho}F_{\lambda\mu}u_{\nu}.$$

Ну а в нелинейном случае, разумеется, будет обобщение на произвольные функции:

$$H^{\mu\nu}u_{\mu}=D(F^{\mu\nu}u_{\mu})\qquad\varepsilon^{\lambda\mu\nu\rho}H_{\lambda\mu}u_{\nu}=H(\varepsilon^{\lambda\mu\nu\rho}F_{\lambda\mu}u_{\nu}).$$

Эти функции могут быть изотропными или анизотропными (в 3-мерном смысле), по желанию.

[evgeniy]

Спасибо Munin. Но у меня еще два вопроса.
1. Если записать эти условия с помощью трехмерных векторов с векторным произведением на трехмерную скорость, то понятно, как записывать трехмерную анизотропию. Как ее записывать в четырехмерном случае, чтобы она перешла в трехмерный случай.
2. Как записывать метрический интервал для анизотропного диэлектрика.
Эти вопросы связаны с правильностью преобразования Лоренца. Дело в том, что метрический интервал анизотропен в случае анизотропного диэлектрика. Т.е. преобразование Лоренца должно быть анизотропно. Я предполагаю, что метрический интервал должен иметь вид
$ds^2=c^2dt-\varepsilon_{pq}\mu_{pq}dx_p dx_q$
если я не прав, то напишите свой вид метрического интервала.

[Munin]

evgeniy в сообщении #848323 писал(а):

1. Если записать эти условия с помощью трехмерных векторов с векторным произведением на трехмерную скорость, то понятно, как записывать трехмерную анизотропию. Как ее записывать в четырехмерном случае, чтобы она перешла в трехмерный случай.

Вводите три 4-мерных единичных вектора, нормальных между собой и нормальных по отношению к 4-вектору скорости среды. В собственной системе отсчёта среды они становятся трёхмерными базисными векторами, поскольку четвёртая компонента обнуляется. И их можно расположить вдоль кристаллографических осей, или как-то иначе привязать к кристаллографическому базису (удобно оставить их ортонормированными, а вот кристаллографический базис не всегда таков).

Дальше описываете анизотропные свойства среды в проекциях на эти векторы, точно так же, как вы бы сделали это в трёхмерном случае.

evgeniy в сообщении #848323 писал(а):

2. Как записывать метрический интервал для анизотропного диэлектрика.

А вот тут абсолютно ничего не меняется. Метрический интервал - это свойство самого пространства-времени, а не среды. Ваш вопрос аналогичен такому: как записывать расстояние для анизотропного диэлектрика? Да точно так же, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$ Тут абсолютно ничего не меняется.

Величины $\varepsilon$ и $\mu$ не входят ни в формулу для интервала, ни в преобразования Лоренца. Величина $c,$ которая входит в формулу для интервала и в преобразования Лоренца - это не скорость света в среде, а мировая константа, к свету и его распространению не имеющая вообще никакого отношения. То, что её называют "скорость света в вакууме" - просто историческое совпадение.

[evgeniy]

Я понял Вашу точку зрения, и подумаю над Вашей формулировкой преобразования Лоренца и метрического интервала. Хотя первое возражение, что в изотропных диэлектриках справедливо нулевое значение выражения
$c^2dt^2/\varepsilon \mu -dx^2-dy^2-dz^2=0$
а выражение
$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=0$
не справедливо, просто потому, что эти два выражения не совместимы, а физический смысл координат и времени одинаков.
Кроме того, как учит ОТО свойство пространства зависит от наличия в нем материальных тел, т.е. вторая формула относится к метрическому интервалу свободного пространства, а первая формула учитывает наличие материальных тел, изменяющих свойство пространства.
Я не разделяю ОТО и СТО поэтому привожу аргументы из ОТО. При отсутствии взаимодействия, СТО является частным случаем ОТО. Взаимодействие отсутствует вдали от тел.

[Munin]

evgeniy в сообщении #848414 писал(а):

Я понял Вашу точку зрения

Это не моя точка зрения, а стандартная азбука.

Преобразования Лоренца, кроме электродинамики, действуют на:
- уравнения классической механики;
- уравнения квантовой механики (уравнения Дирака и Клейна-Гордона, конкретно);
- уравнения всех остальных фундаментальных взаимодействий:

- уравнения гравитации (ОТО);
- уравнения электрослабого взаимодействия (ГВС);
- уравнения сильного (цветового) взаимодействия (КХД);

- как следствие двух предыдущих пунктов, на уравнения производных (нефундаментальных) взаимодействий:

- уравнения слабого взаимодействия (4-фермионные взаимодействия Ферми и $V-A$);
- уравнения эффективного сильного (ядерного, межнуклонного) взаимодействия;
- уравнения межатомного химического взаимодействия.

Во всём этом широком диапазоне явлений макроскопические приближённые величины $\varepsilon$ и $\mu$ не играют никакой роли, а вот фундаментальная константа $c$ - играет главную роль.

evgeniy в сообщении #848414 писал(а):

Хотя первое возражение, что в изотропных диэлектриках справедливо нулевое значение выражения
$c^2dt^2/\varepsilon \mu -dx^2-dy^2-dz^2=0$
а выражение
$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=0$
не справедливо, просто потому, что эти два выражения не совместимы, а физический смысл координат и времени одинаков.

Именно из того, что эти два выражения не совместимы, а физический смысл координат и времени одинаков, следует именно справедливость

$$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=\mathrm{inv}.$$

evgeniy в сообщении #848414 писал(а):

Кроме того, как учит ОТО свойство пространства зависит от наличия в нем материальных тел

А ещё ОТО учит, как именно. Если вы не знаете ОТО, не ссылайтесь на эту мысль, и не оправдывайте ей совершенно другие заявления, ни малейшего отношения к гравитации и ОТО не имеющие.

evgeniy в сообщении #848414 писал(а):

Я не разделяю ОТО и СТО

Это безграмотно. Такое "может себе позволить" только тот, кто их не знает.

evgeniy в сообщении #848414 писал(а):

При отсутствии взаимодействия, СТО является частным случаем ОТО.

Нет. При отсутствии гравитационного взаимодействия. Все другие взаимодействия (электромагнитные, ядерные, межатомные) могут присутствовать.

[RSaulius]

Munin в сообщении #848027 писал(а):

И вот дальше важный момент. Поскольку поляризация связана со средой, то она не определяется только приложенным полем, как это было в нерелятивистской формулировке (с неподвижными диэлектриками и магнетиками).

Будет ли соблюдаться принцип относительности Энштейна, если предположить, что сам вакуум изотропен, но его эл. и маг. проницательности нелинейны ?

[Munin]

Смотря, как именно нелинейны (в каком именно виде вы это предположите). В современной теории поля считается, что вакуум 4-мерно изотропен. Так что, все его нелинейности - соответствуют друг другу, а не выбираются произвольно. И тогда принцип относительности соблюдается.

Кстати, в электрослабой теории (ГВС) электродинамика оказывается встроена в объемлющую нелинейную теорию. Но всё остаётся лоренц-инвариантным.

[RSaulius]

Спасибо за ответ

Munin в сообщении #849190 писал(а):

Смотря, как именно нелинейны (в каком именно виде вы это предположите). В современной теории поля считается, что вакуум 4-мерно изотропен. Так что, все его нелинейности - соответствуют друг другу, а не выбираются произвольно. И тогда принцип относительности соблюдается.

А если вакуум был бы линеен, но только 3-х мерно изтропен- ПО соблюдался бы?

Munin в сообщении #849190 писал(а):

Кстати, в электрослабой теории (ГВС) электродинамика оказывается встроена в объемлющую нелинейную теорию. Но всё остаётся лоренц-инвариантным

Вакуум нелинеен на коротких растояниях от заряженных частиц и наверно, если было бы нарушение ПО , то это как то проявлялось в экперментах с частицами на ускорителях.

[RSaulius]

я тут не очень разбираюсь в 4-х записи ур. Максвелла. Если вакуум только 3-х мерно изтропен, то который тензор должен быть несиметричным?

[evgeniy]

Munin в сообщении #848419 писал(а):

evgeniy в сообщении #848414
писал(а):
Хотя первое возражение, что в изотропных диэлектриках справедливо нулевое значение выражения
$c^2dt^2/\varepsilon \mu -dx^2-dy^2-dz^2=0$
а выражение
$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=0$
не справедливо, просто потому, что эти два выражения не совместимы, а физический смысл координат и времени одинаков.

Munin в сообщении #848419 писал(а):

Именно из того, что эти два выражения не совместимы, а физический смысл координат и времени одинаков, следует именно справедливость

$$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=\mathrm{inv}.$$

Хорошо, допустим имеем возмущение электромагнитного поля в диэлектрической среде. Тогда имеем $c^2dt^2/\varepsilon \mu -dx^2-dy^2-dz^2=0$, т.е. электромагнитная волна распространяется с фазовой скоростью, а Вы пишите, что справедливо $c^2dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2=0$.

Munin в сообщении #848419 писал(а):

Преобразования Лоренца, кроме электродинамики, действуют на:
- уравнения классической механики;
- уравнения квантовой механики (уравнения Дирака и Клейна-Гордона, конкретно);
- уравнения всех остальных фундаментальных взаимодействий:
- уравнения гравитации (ОТО);
- уравнения электрослабого взаимодействия (ГВС);
- уравнения сильного (цветового) взаимодействия (КХД); - как следствие двух предыдущих пунктов, на уравнения производных (нефундаментальных) взаимодействий:
- уравнения слабого взаимодействия (4-фермионные взаимодействия Ферми и $V-A$);
- уравнения эффективного сильного (ядерного, межнуклонного) взаимодействия;
- уравнения межатомного химического взаимодействия.

Вы пишите, что преобразования Лоренца действуют, и перечисляете науки. По видимому процессы, происходят в вакууме, или воздухе, который мало отличается от вакуума. Я не знаю как обстоят дела с сильным и электрослабым взаимодействием, которые могут происходить в твердом теле. Знаю, что уравнения Дирака с электромагнитным полем инвариантны в вакууме или воздухе относительно преобразования Лоренца, но в случае других потенциалов доказательства инвариантности нет. В случае той же потенциальной ямы, доказательства инвариантности нет. Там уже необходимо использовать не диэлектрическую проницаемость, а необходимо строить фазовую скорость с учетом потенциала.
Как быть с классической механикой я не знаю. Но если движение происходит в диэлектрике, то вместо константы c, надо писать фазовую скорость в диэлектрике. Когда я считал электромагнитное поле для движущегося диэлектрика, то получил результат, что при теле конечных размеров и скорости тела, равной $c/\sqrt{\varepsilon \mu}$ наблюдается бесконечное значение магнитной индукции. Значит, такая скорость невозможна. Эффект Вавилова-Черенкова наблюдается при диэлектрической проницаемости среды больше единицы. А тут бесконечность поля при диэлектрической проницаемости тела больше единицы, а среда вакуум или воздух, так что никакой святящийся конус в данном случае не должен образоваться. .

[Munin]

RSaulius в сообщении #849420 писал(а):

А если вакуум был бы линеен, но только 3-х мерно изтропен- ПО соблюдался бы?

Нет. Относительность = 4-мерная изотропность, и точка.

RSaulius в сообщении #849420 писал(а):

Вакуум нелинеен на коротких растояниях от заряженных частиц

Это другой эффект, чем то, о чём я говорю. И к вакууму имеет мало отношения.

RSaulius в сообщении #849477 писал(а):

я тут не очень разбираюсь в 4-х записи ур. Максвелла. Если вакуум только 3-х мерно изтропен, то который тензор должен быть несиметричным?

А можно разные сделать несимметричными. Смотря с каким вы вообще связываете слово "вакуум".

Когда в системе СИ называют величины $\varepsilon_0,\mu_0$ проницаемостями вакуума, это на самом деле вообще ничего не значит, фигура речи. К вакууму они отношения не имеют, а нужны только для преобразования систем единиц. На самом деле, эти величины вообще не экспериментальные, а просто наборы численных коэффициентов:

$$\mu_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}4\pi\cdot 10^{-7}\dfrac{\text{Гн}}{\text{м}}\qquad\varepsilon_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{1}{\mu_0c^2}=\dfrac{1}{c^2\cdot4\pi\cdot 10^{-7}}\dfrac{\text{м}}{\text{Гн}}=\dfrac{1}{[\text{числ. знач. }c]^2\cdot4\pi\cdot 10^{-7}}\dfrac{\text{Ф}}{\text{м}}.$$

(Причём, в современных определениях системы СИ, даже скорость света - фиксированный численный коэффициент, потому что единица измерения длины метр выражается через единицу измерения времени секунду. $[\text{числ. знач. }c]=299\,792\,458$ - это просто число, такое же как 2, $\pi$ и т. д.)

Поэтому, в уравнениях Максвелла вакуум нигде сам по себе не фигурирует.

evgeniy в сообщении #849589 писал(а):

Хорошо, допустим имеем возмущение электромагнитного поля в диэлектрической среде. Тогда имеем $c^2dt^2/\varepsilon \mu -dx^2-dy^2-dz^2=0$, т.е. электромагнитная волна распространяется с фазовой скоростью, а Вы пишите, что справедливо $c^2dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2=0$.

Вы не понимаете разницы между 0 и inv (инвариантом). Это разные вещи. Ваше уравнение $c^2dt^2/\varepsilon\mu-dx^2-dy^2-dz^2=0$ верно, но только в одной системе отсчёта - в собственной системе отсчёта среды. А моё уравнение $c^2dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2=\mathrm{inv}$ верно в любой системе отсчёта, но при этом правая часть вовсе не обязательно равна нулю: $c^2dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2=\mathrm{inv}\ne 0.$

В другой системе отсчёта ваше уравнение придётся заменить на что-то вида

$$(dx^\mu u_\mu)^2/\varepsilon\mu+(dx^\mu-dx^\nu u_\nu u^\mu)^2=0,$$

где $u^\mu$ - скорость среды.

evgeniy в сообщении #849589 писал(а):

Вы пишите, что преобразования Лоренца действуют, и перечисляете науки.

Я перечисляю не науки. Я перечисляю явления природы.

evgeniy в сообщении #849589 писал(а):

По видимому процессы, происходят в вакууме, или воздухе, который мало отличается от вакуума.

Нет. Эти процессы происходят в разных условиях: в плотной движущейся среде (например, гравитация), в ядерной среде, внутри быстро движущихся элементарных частиц, и так далее.

Ваше невежество - не оправдание для ложных заявлений. Сначала узнайте, о чём речь, а только потом высказывайтесь.

evgeniy в сообщении #849589 писал(а):

Знаю, что уравнения Дирака с электромагнитным полем инвариантны в вакууме или воздухе относительно преобразования Лоренца, но в случае других потенциалов доказательства инвариантности нет.

Это вы "знаете" неправильно.

evgeniy в сообщении #849589 писал(а):

В случае той же потенциальной ямы, доказательства инвариантности нет.

Нет никаких потенциальных ям.

evgeniy в сообщении #849589 писал(а):

Как быть с классической механикой я не знаю. Но если движение происходит в диэлектрике, то вместо константы c, надо писать фазовую скорость в диэлектрике.

Нет, неправильно.

evgeniy в сообщении #849589 писал(а):

Когда я считал электромагнитное поле для движущегося диэлектрика, то получил результат, что при теле конечных размеров и скорости тела, равной $c/\sqrt{\varepsilon \mu}$ наблюдается бесконечное значение магнитной индукции. Значит, такая скорость невозможна.

Нет, значит, вы ошиблись в расчётах.

evgeniy в сообщении #849589 писал(а):

Эффект Вавилова-Черенкова наблюдается при диэлектрической проницаемости среды больше единицы.

Да, и он как раз показывает, что такая скорость возможна.

evgeniy в сообщении #849589 писал(а):

А тут бесконечность поля при диэлектрической проницаемости тела больше единицы, а среда вакуум или воздух, так что никакой святящийся конус в данном случае не должен образоваться. .

Поскольку эффект Вавилова-Черенкова давным-давно продемонстрирован экспериментально, то ваши рассуждения ошибочны.

[evgeniy]

Munin в сообщении #849682 писал(а):

Вы не понимаете разницы между 0 и inv (инвариантом). Это разные вещи. Ваше уравнение $c^2dt^2/\varepsilon\mu-dx^2-dy^2-dz^2=0$ верно, но только в одной системе отсчёта - в собственной системе отсчёта среды. А моё уравнение $c^2dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2=\mathrm{inv}$ верно в любой системе отсчёта, но при этом правая часть вовсе не обязательно равна нулю: $c^2dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2=\mathrm{inv}\ne 0.$

В другой системе отсчёта ваше уравнение придётся заменить на что-то вида

$$(dx^\mu u_\mu)^2/\varepsilon\mu+(dx^\mu-dx^\nu u_\nu u^\mu)^2=0,$$

где $u^\mu$ - скорость среды.

Дело в том, что при переходе из вакуума в диэлектрик, выражение $c^2dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2=\mathrm{inv}$ должно быть инвариантно, значит $\mathrm{inv}=0$, что не совместимо с выражением $c^2dt^2/\varepsilon\mu-dx^2-dy^2-dz^2=0$, которое тоже справедливо не только в собственной системе отсчета, но и в любой инерциальной системе отсчета, но с другой фазовой скоростью.
Потенциальные ямы описаны в книге ЛЛ. Квантовая механика. Получено решение для потенциальных ям, но не релятивистское. По-видимому релятивистского решения с преобразованием Лоренца в стандартном виде не существует, поэтому в ЛЛ Квантовая электродинамика понятие потенциальной ямы исключено, хотя в другой книге оно существует.

Munin в сообщении #849682 писал(а):

evgeniy в сообщении #849589
писал(а):
Когда я считал электромагнитное поле для движущегося диэлектрика, то получил результат, что при теле конечных размеров и скорости тела, равной $c/\sqrt{\varepsilon \mu}$ наблюдается бесконечное значение магнитной индукции. Значит, такая скорость невозможна.
Нет, значит, вы ошиблись в расчётах.

Я могу привести расчеты, тем более, что файлы у меня сохранились.

Munin в сообщении #849682 писал(а):

evgeniy в сообщении #849589
писал(а):
А тут бесконечность поля при диэлектрической проницаемости тела больше единицы, а среда вакуум или воздух, так что никакой святящийся конус в данном случае не должен образоваться. .
Поскольку эффект Вавилова-Черенкова давным-давно продемонстрирован экспериментально, то ваши рассуждения ошибочны.

Эффект Вавилова-Черенкова реализуется при свойствах среды, диэлектрической проницаемости больше единицы. В данном случае свойства двигающегося тела обладают свойствами, что диэлектрическая проницаемость больше единицы, а свойства среды, это воздух или вакуум, это две большие разницы и нет условий для образования конуса, конус образуется вне тела, а вне тела диэлектрическая проницаемость единица.