Добрый день!
При разборе статьи по оптимальному управлению моделью иммунологии ВИЧ возникло пару вопросов. Оптимальное управление строится с использованием принципа максимума.
Модель динамики:
Минимизируемый функционал качества:
От времени
t зависят переменные состояния
![$ \bar{x}(t)=[S_{1}(t), S_{2}(t), I_{1}(t), I_{2}(t), V(t), E(t)]$ $ \bar{x}(t)=[S_{1}(t), S_{2}(t), I_{1}(t), I_{2}(t), V(t), E(t)]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/3/c2324b45c3e92a2d2943e274d2bfe17382.png)
и переменные управления
![$ \bar{u}(t)=[u_{1}(t), u_{2}(t)] $ $ \bar{u}(t)=[u_{1}(t), u_{2}(t)] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/4/8143e6e35a920c4e778a3a8590b8657d82.png)
. Остальные переменные -
константы.
Левый конец закреплен

, правый - свободный. На управления наложены ограничения

Итого, в стандартных обозначениях задача оптимального управления принимает вид:
Гамильтониан системы:![$$
\mathcal{H}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),\bar{\psi}(t),t,\lambda_{0})=-\lambda_0 f_0(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)+\sum\limits_{j=1}^{6} \psi_j(t)f_j(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)=$$
$$=[\text{для задачи со свободным правым концом } \lambda_{0}=1]=$$
$$=-\frac {1} {2} (R_1u_1^2+R_2u_2^2)+\psi_1(t)\left[\mu_{1}-d_{1}S_{1}-(1-u_{1})k_{1}VS_{1} \right]+$$
$$+\psi_2(t)\left[\mu_{2}-d_{2}S_{2}-(1-fu_{1})k_{2}VS_{2} \right]+$$
$$+\psi_3(t)\left[(1-u_{1})k_{1}VS_{1}-\delta I_{1}-m_{1}EI_{1} \right]+$$
$$+\psi_4(t)\left[(1-fu_{1})k_{2}VS_{2}-\delta I_{2}-m_{2}EI_{2} \right]+$$
$$+\psi_5(t)\left[(1-u_{2})N\delta (I_{1}+I_{2})-cV-[(1-u_{1})\rho_{1} k_{1}S_{1}+(1-fu_{1})\rho_{2} k_{2}S_{2}]V \right]+$$
$$+\psi_6\left[\mu_{1}+\frac {b_{E}(I_{1}+I_{2})} {(I_{1}+I_{2})K_{b}} E - \frac {d_{E}(I_{1}+I_{2})} {(I_{1}+I_{2})K_{d}} E - \delta_{E} E\right]
$$ $$
\mathcal{H}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),\bar{\psi}(t),t,\lambda_{0})=-\lambda_0 f_0(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)+\sum\limits_{j=1}^{6} \psi_j(t)f_j(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)=$$
$$=[\text{для задачи со свободным правым концом } \lambda_{0}=1]=$$
$$=-\frac {1} {2} (R_1u_1^2+R_2u_2^2)+\psi_1(t)\left[\mu_{1}-d_{1}S_{1}-(1-u_{1})k_{1}VS_{1} \right]+$$
$$+\psi_2(t)\left[\mu_{2}-d_{2}S_{2}-(1-fu_{1})k_{2}VS_{2} \right]+$$
$$+\psi_3(t)\left[(1-u_{1})k_{1}VS_{1}-\delta I_{1}-m_{1}EI_{1} \right]+$$
$$+\psi_4(t)\left[(1-fu_{1})k_{2}VS_{2}-\delta I_{2}-m_{2}EI_{2} \right]+$$
$$+\psi_5(t)\left[(1-u_{2})N\delta (I_{1}+I_{2})-cV-[(1-u_{1})\rho_{1} k_{1}S_{1}+(1-fu_{1})\rho_{2} k_{2}S_{2}]V \right]+$$
$$+\psi_6\left[\mu_{1}+\frac {b_{E}(I_{1}+I_{2})} {(I_{1}+I_{2})K_{b}} E - \frac {d_{E}(I_{1}+I_{2})} {(I_{1}+I_{2})K_{d}} E - \delta_{E} E\right]
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/9/7f97e277876b7fbfd67201c638119fbe82.png)
Для решаемой задачи
сопряженная система:![$$
\begin{cases}
\dot{\psi_1}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial S_1}=-\left \lbrace \psi_1[-d_1-(1-u_1)k_1V]+\psi_3(1-u_1)k_1V-\psi_5(1-u_1)\rho_1k_1V \right \rbrace\\
\dot{\psi_2}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial S_2}=-\left \lbrace \psi_2[-d_2-(1-fu_1)k_2V]+\psi_4(1-fu_1)k_2V-\psi_5(1-fu_1)\rho_2k_2V \right \rbrace\\
\dot{\psi_3}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial I_1}=-\left \lbrace \psi_3(-\delta-m_1E)+\psi_5(1-u_2)N\delta+\psi_6 \left(\frac {b_EEK_b} {(I_1+I_2+K_b)^2} - \frac {d_EEK_d} {(I_1+I_2+K_d)^2} \right) \right \rbrace\\
\dot{\psi_4}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial I_2}=-\left \lbrace \psi_3(-\delta-m_2E)+\psi_5(1-u_2)N\delta+\psi_6 \left(\frac {b_EEK_b} {(I_1+I_2+K_b)^2} - \frac {d_EEK_d} {(I_1+I_2+K_d)^2} \right) \right \rbrace\\
\dot{\psi_5}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial V}=-\lbrace \-\psi_1(1-u_1)k_1S_1-\psi_2(1-fu_1)k_2S_2+\psi_3(1-u_1)k_1S_1+\psi_4(1-fu_1)k_2S_2-\\
\quad\quad\quad\quad\quad-\psi_5[c+(1-u_1)\rho_1k_1S_1+(1-fu_1)\rho_2k_2S_2] \rbrace\\
\dot{\psi_6}=-\frac {\partial H}{\partial E}=-\left \lbrace -\psi_3m_1I_1-\psi_3m_2I_2+\psi_6\left[\frac {b_{E}(I_{1}+I_{2})} {(I_{1}+I_{2})K_{b}} - \frac {d_{E}(I_{1}+I_{2})} {(I_{1}+I_{2})K_{d}} - \delta_{E} \right] \right \rbrace\\
\end{cases}
$$ $$
\begin{cases}
\dot{\psi_1}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial S_1}=-\left \lbrace \psi_1[-d_1-(1-u_1)k_1V]+\psi_3(1-u_1)k_1V-\psi_5(1-u_1)\rho_1k_1V \right \rbrace\\
\dot{\psi_2}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial S_2}=-\left \lbrace \psi_2[-d_2-(1-fu_1)k_2V]+\psi_4(1-fu_1)k_2V-\psi_5(1-fu_1)\rho_2k_2V \right \rbrace\\
\dot{\psi_3}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial I_1}=-\left \lbrace \psi_3(-\delta-m_1E)+\psi_5(1-u_2)N\delta+\psi_6 \left(\frac {b_EEK_b} {(I_1+I_2+K_b)^2} - \frac {d_EEK_d} {(I_1+I_2+K_d)^2} \right) \right \rbrace\\
\dot{\psi_4}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial I_2}=-\left \lbrace \psi_3(-\delta-m_2E)+\psi_5(1-u_2)N\delta+\psi_6 \left(\frac {b_EEK_b} {(I_1+I_2+K_b)^2} - \frac {d_EEK_d} {(I_1+I_2+K_d)^2} \right) \right \rbrace\\
\dot{\psi_5}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial V}=-\lbrace \-\psi_1(1-u_1)k_1S_1-\psi_2(1-fu_1)k_2S_2+\psi_3(1-u_1)k_1S_1+\psi_4(1-fu_1)k_2S_2-\\
\quad\quad\quad\quad\quad-\psi_5[c+(1-u_1)\rho_1k_1S_1+(1-fu_1)\rho_2k_2S_2] \rbrace\\
\dot{\psi_6}=-\frac {\partial H}{\partial E}=-\left \lbrace -\psi_3m_1I_1-\psi_3m_2I_2+\psi_6\left[\frac {b_{E}(I_{1}+I_{2})} {(I_{1}+I_{2})K_{b}} - \frac {d_{E}(I_{1}+I_{2})} {(I_{1}+I_{2})K_{d}} - \delta_{E} \right] \right \rbrace\\
\end{cases}
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/e/18e7b59ce43b426f581e96aaf770ff1c82.png)
Далее авторы статьи строят расширенный штрафными функциями гамильтониан(лагранжиан):

Штрафные слагаемые

и

Далее приводятся альтернативные выражения для сопряженной системы

:
Условия трансверсальности:1) в конечный момент времени

2) из условия равенства первой вариации функционала нулю:
Выражения для оптимальных управлений 
и

:

У меня возникли следующие вопросы:
1) у авторов статьи в выражениях для гамильтониана коэффициент 1/2 входит со знаком "+" и знаки в выражениях для оптимальных управлений противоположны (правильно ли у меня выбрано

) ?
2) для чего нужны альтернативные выражения

для сопряженной системы, если сопряженная система уже получена ранее?
3) необходимы ли условия трансверсальности 2) (равенство нулю первой вариации функционала) для решения задачи? Каким образом у авторов в этом уравнении появились

и

?
4) как собственно получить численное решение задачи (промоделировать систему)?
С уважением, Алексей