Санкт-Петербургский парадокс в статье Иваницкого Г. Р.

[Евгений Машеров]

В порядке прикидки.
Два друга, умный (и учивший теорвер) Микки и отважный (и легко поддающийся на разводки) Хакки ходят в казино.
Хакки прочёл рассылку и придерживается рекомендованной тактики: ставить (на "цвет" или на "чёт"), начиная с одной марки, при проигрыше удваивать, пока не случится выигрыш. В кармане у Хакки вся его стипендия, 1023 марки, и более 10 удвоений он не сможет делать, так что при большом проигрыше уходит. Ограничения на ставку в казино нет (или оно выше 512 марок). Известно, что рулетки "честные" и европейского стиля (то есть одно "зеро", а не "зеро" и "дабл-зеро", как в американском, и 36 ячеек с числами 1-36 и красных или чёрных), то есть вероятность выигрыша $\frac {18} {37}=0.4865$ и одинакова для всех ячеек (поэтому вопрос, на цвет или на чётность, а также менять ли цвет - несущественен).
Микки ходит за компанию с другом, а также ради дармовой выпивки и знакомства с рисковыми барышнями. И ставит в среднем столько же раз, сколько Хакки, а у Хакки серия до выигрыша (ну, или до разорения) в среднем 2.04 броска. То есть два раза, .04 он себе прощает.
С вероятностью 0.998724975 Хакки выигрывает 1 марку, после чего идёт праздновать победу. С вероятностью 0.001275025 проигрывает всю стипендию (1023 марки) и уходит пьянствовать с горя (на что?!). Это даёт матожидание выигрыша -0.306 марки, или -0.153
в среднем на бросок. Что в 5.65 раза выше, чем -0.027 для стратегии умного Микки. Причина этого очевидна - стратегия "разводит" игрока на высокие ставки, хотя как начальная, так и "плановый выигрыш" по одной марке.
Но безусловно, жизнь Хакки куда эмоционально насыщеннее (зато у Микки стипендия остаётся в кармане, в месяц он теряет меньше марки).

[mustitz]

В идеальную орлянку с возможность делать неограниченные ставки математическое ожидание выигрыша всегда равно нулю. С другой стороны, используя разные стратегии варьирования размера ставок, можно добиться, например, что вероятность выиграть €1 будет 99%, при этом вероятность проиграть €99 будет 1%. Вероятность проигрыша можно свести к любому числу, отличного от нуля, но не бесплатно, а за счет увеличение суммы, которая рискуется проиграть в случае нефарта.

Понятно, что можно предложить стратегию, которая обеспечивает выигрыш в 99.999999% случаев, но при этом надо располагать и рисковать финансами примерно в десять миллионов раз больше, чем средний размер выигрыша. Понятно, что если моделировать такую стратегию в Excel, то необходимо иметь возможность провести достаточное большое число испытаний, чтобы нефарт воспроизвелся хотя-бы несколько раз.

[Lukum]

Евгений Машеров
Микки теряет на бросок столько же, сколько и Хакки, на единицу ставки, не так ли? А именно, по $1/37=0.027$ от величины ставки за ход.
Коль скоро, средняя ставка у них одинакова, то сделанный вами вывод некорректен.

[Евгений Машеров]

Где ж она одинакова? У Микки всегда 1, у Хакки меняется от 1 до 512. за счёт этого Хакки и дурят.

[Lukum]

Тут причина более быстрого разорения в повышенной ставке, т.е. если измерять капитал в количествах ставок, то мы наделяем Микки большим капиталом и позволяем ему ставить меньшую ставку.
Если уравнять их ставки, то скорость разорения будет одинакова, не так ли?

[Someone]

Задача о разорении

Как я понимаю, это переписано из учебника А.Н.Ширяева "Теория вероятностей" (Глава I, § 9).

[Lukum]

Евгений Машеров в сообщении #850396 писал(а):

Микки ходит за компанию с другом, а также ради дармовой выпивки и знакомства с рисковыми барышнями. И ставит в среднем столько же, сколько Хакки, а у Хакки серия до выигрыша (ну, или до разорения) в среднем 2.04 броска.

[Евгений Машеров]

Прошу прощения, не уточнил, что "столько же раз", а не "столько же марок, как и Хакки". Хотя из дальнейшего текста это должно было быть ясно.
На всякий случай поправил.

-- 16 апр 2014, 13:59 --

Если Микки вдруг перебрал с дармовыми горячительными и решил играть до упора (но по-прежнему по одной монетке), то до момента разорения пройдёт 37 851 бросок. Хакки, если он выходит из казино после первого же выигрыша (или после полного проигрыша), в среднем имеет 1610 бросков до разорения, или в 23.5 раза быстрее разоряется.

[Lukum]

Выяснили недоразумение, да и ладно.
Мы поняли, что если ставки будут одинаковые в среднем по величине, то метод мартингейла будет эквивалентен по скорости разорения методу с фиксированной ставкой.

-- 16.04.2014, 15:26 --

Предположим, что студенты ходят в казино раз квартал в течение 5 лет и делают по 50 ставок за вечер.
Кто останется в плюсе по окончании учебы? У кого вероятность больше обогнать по капиталу соперника?

[Евгений Машеров]

Тот, кто не ходит в казино. Это единственная мораль, которая отсюда выводима. Впрочем, если у Вас есть желание проработать модель подробнее - займитесь.

[Lukum]

Про скорость вы интересный вопрос подняли. В описанном вами случае, вы правы. Если ставки в среднем будут одинаковы, то и скорость разорения, очевидно, одинаковая.

Другой момент, что при достаточно большом капитале и одинаковых в среднем размеров ставок, я по-прежнему считаю, что мартингейл будет уменьшать скорость разорения, эта скорость будет зависеть от ряда параметров, в том числе и от количества игр, т.е. если игр немного, и капитал достаточно большой, то мартингейл, скорее всего, уменьшает скорость разорения.
Я не считал сам и не моделировал это, это из общих соображений, поэтому могу ошибаться.
Соображение такое, мартингейл меняет распределение результатов игр серий сделок.
Думаю, по этой причине, в том числе и живуч этот метод.
В решении подобных задач может помочь опять же Ширяев, например, Ширяев "О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением"

Евгений Машеров в сообщении #850500 писал(а):

Впрочем, если у Вас есть желание проработать модель подробнее - займитесь.

Нет у меня большого интереса, который бы побудил к этому, но пообсуждать или почитать чужие исследования и мнения мне интересно.

[Евгений Машеров]

Думаю, причины популярности "систем" совершенно вне математики, и чисто психологические. Получать немного, но практически с гарантией, приятно. А вероятность проигрыша мала и субъективно кажется ещё меньшей, почти что на уровне невозможности.
Причём по ходу игры при серии неудач возникает желание отыграться, а не списать убыток, чтобы не чувствовать себя неудачником.
Объективно же мартингейл разорение только приближает.
"Усреднение убытков убило больше евреев, чем Гитлер" - циничная шутка трейдеров Уолл-Стрита ("усреднение убытков" - сходная с мартингейлом тактика торговли акциями, когда при нежелательном движении цены, падении после покупки актива или роста после короткой продажи, вместо закрытия сделки делается ещё одна покупка или, соответственно, продажа, чтобы при перемене движения цены покрыть убыток и в целом показать прибыль). См. Ник Лисон и банк Беринг.

[Lukum]

Так и есть.
Кстати, знакомый помоделировал немного на коленке, мартингейл проиграл методу фиксированной ставки. Моя гипотеза не оправдалась.

[Евгений Машеров]

И почему проигрывает. Потому, что средняя ставка меньше максимальной (с меня фуражка прапорщика Ясненько не упала?), и при максимальной ставке он в половине случаев пролетает сразу. А при средней (если понимать, как средневзвешенная, то она примерно 2) он теряет медленно и траурно. Сползает, а не прыгает в разорение.
Собственно, для того и рассылка "системы". Не для благотворительности. Для завлечения лохов на нерест.

[Lukum]

Не разбирался в причинах.
Мне казалось, что при $M(N) < \sqrt N $ мартингейл будет лучше метода с фиксированной ставкой.
$M(N)$ - мат.ожидание длины серии проигрышей (орлов) за $N $ бросков монеты.