Разложение в ряд по НЕ ортогональным синусам

[B@R5uk]

Необходимо подобрать такие числа $T_n$, чтобы для $z\in(0,d)$ выполнялось следующее равенство:

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}T_n\sin\left(\pi\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{z}{d}\right)=\delta T\frac{z}{d}$$

Нутром чую, что здесь замешаны ряды Фурье, однако на отрезке $(0,d)$ базис из синусов не ортогональный, а на отрезке $(0,2d)$ -- не полный. Поэтому найти координаты в этом базисе всего лишь взятием скалярного произведения функций не представляется возможным. А решать бесконечномерные СЛАУ я не умею. Пожалуйста, подскажите как найти коэффициенты, а ещё лучше чему они равны (формула нужна не для собственного развития, а для обсчёта результатов измерения).

Или, может быть, моя попытка решить уравнение теплопроводности была неудачной ещё до получения этого выражения?

[svv]

Сделайте замену $\frac{\pi}{2}\frac{z}{d}=x$, тогда $z\in(0,d)$ будет соответствовать $x\in(0,\frac{\pi}{2})$. Доопределите функцию $f(x)$ на оставшейся части $[-\pi, +\pi]$ так, чтобы она шла змейкой:

Разложите $f(x)$ в ряд Фурье на $[-\pi, +\pi]$. Коэффициенты будут ненулевыми только при синусах и только нечетных гармоник.

[B@R5uk]

Для $x\in(0,1)$ вроде так получается:

$$x=\frac{8}{\pi^2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\sin\frac{\pi(2n+1)x}{2}$$

Правильно?

[B@R5uk]

svv, спасибо.

[svv]

Да, правильно. Проверил на компьютере. Это у Вас для змейки с единичной амплитудой.