У меня возникла задача на теорию игр, связанная с избирательными системами. Ниже приводится фрагмент моей книги "Механизмы работы интернет-демократии", в котором эта задача описана более подробно. Если кратко, мой воспрос в том, насколько актуальной будет при предлагаемых избирательных системах проблема "эгоистичного", "нечестного голосования". Смысл "эгоистичного голосования" я понимаю так: избиратель при голосовании учитывает только собственные интересы и пренебрегает интересами других избирателей.
Предположим, вместо традиционного голосования мы ввели систему оценок по десятибальной шкале: каждому из кандидатов в президенты избиратель ставит какую-то оценку, и побеждает тот, у кого средняя оценка самая высокая. Пусть есть три кандидата - A, B и C, и избиратель оценивает A на 8 баллов, B на 5 баллов и C на 1 балл. Проблема в том, что поскольку этот избиратель заинтрересован чтобы выбрали A, он может "скорректировать" своё голосование: поставить A 10 баллов и по единице - B и C. Получается, что такие "умные" избиратели на самом деле обманут сами себя, поскольку голосование получится в итоге менее достоверным. Но, с другой стороны, этот же избиратель может всё-таки поставить побольше кандидату B, чтобы уменьшить вероятность победы C, которого он считает наихудшим.
Ещё более сложная задача получается, если избиратель учитывает результаты экзит-поллов. Если он видит, например, что побеждает B и от него немного отстаёт A, он поставит 10 A и по единице B и C. Но если он видит, что побеждает C и от него немного отстаёт B, то он поставит 10 B и по 1 A и C. Получается, опять же, эгоистичное голосование, хотя возможно что на самом деле особой проблемы тут и нет.
(Оффтоп)
Фрагмент книги:
6. Избирательные системы и парадоксы
Современная избирательная система несовершенна. Ряд авторов пишут о том, что в ней нередко могут возникать сложные ситуации, парадоксы, и предлагают решения как избежать этих проблем.
Предположим, на пост Президента Вселенной претендует двадцать кандидатов-близнецов и Гитлер. У Гитлера рейтинг 5%, у кандидатов-близнецов 95%/20=4.75%. Соответственно на выборах побеждает Гитлер, хотя 95% голосовавших готовы видеть победителем кого угодно, только не его.
Этот пример, может быть, не очень показательный, поскольку, если выборы будут проходить в два тура, Гитлер безусловно проиграет во втором туре одному из кандидатов-близнецов. Но если, предположим, кроме Гитлера и кандидатов-близнецов есть ещё Сталин с рейтингом 6%, то во второй тур выйдут Гитлер и Сталин, и Сталин победит.*
*Предвижу недовольство читателей-россиян насчёт Сталина (которого они считают выдающимся правителем). Отвечу на это, что на Западе не проводят большого различия между Гитлером и Сталином, Сталина считают злодеем примерно такого же уровня. Ещё замечу, что если бы Гитлер победил в войне, сейчас немцы относились бы к нему примерно так же, как русские относятся к Сталину, а самого Сталина весь мир считал бы главным злодеем-неудачником. Германия легко победила бы в войне, если бы СССР был меньше размерами.
Другой пример: на пост Президента претендуют кандидаты A, B и C. Предположим, предпочтения трети избирателей определяются как A>B>C (то есть A лучше B, а B лучше C), ещё треть считает что B>C>A, и ещё треть считает, что C>A>B. Тогда получается следующее: если во второй тур попадут A и B, две трети выберут A, если туда попадут B и C, две трети выберут B, если A и C, две трети выберут C. Мы получаем типичную игру “камень, ножницы и бумага”. Каждый избиратель честен и рационален, а общество в целом настроено откровенно “шизофренично”.
Опытные политики часто пользуются этими парадоксами. Так, в книге Р. Клима и Д. Ходжа. "Математика выборов" приведён следующий пример. Во время выборов президента США в 2000 г. в штате Флорида с минимальным перевесом победил Джордж Буш. Многие политологи полагают, что если бы тогда не баллотировался другой кандидат, Ральф Нейдер, то во Флориде, а значит и в США, победил бы Альберт Гор. Нейдер стал “кандидатом-вредителем”; другими словами, хотя у него не было шансов выиграть, тем не менее он повлиял на исход выборов.
В американском штате Миннесота в 1998 кандидат от партии реформистов Джесси Вентура (Jessy “The Body” Ventura), в прошлом профессиональный рестлер, одержал удивительную для многих победу над более опытными политиками. Вентура победил по правилу относительного меньшинства, набрав 37% голосов избирателей. Спустя недели и месяцы после выборов многие политические комментаторы пытались объяснить, как удалось Вентуре победить на этих выборах. Лишь часть из них приняла ту точку зрения, что победа Вентуры могла быть просто следствием принятой избирательной системы.
Ещё более важный пример – выборы Президента Украины в 1999 году. Тогдашний президент Кучма сделал так, чтобы во второй тур вместе с ним попал Пётр Симоненко, а не Александр Мороз. Многие говорят о том, что если бы Мороз попал во второй тур, он смог бы победить Кучму (или, по крайней мере, у того возникли бы некоторые проблемы).
Во время президентских выборов на Украине в 2010г центральные и западные области страны были поражены “юлеманией” и голосовали за Юлию Тимошенко. Тем не менее, был некоторый процент избирателей, которые буквально ненавидели Тимошенко и готовы были голосовать за кого угодно, только не за неё*. Возможно, если бы вместо Тимошенко во второй тур попал бы Арсений Яценюк, он выиграл бы у Януковича. В данном случае парадокс заключался в том, что Тимошенко легко выигрывала первый тур, но не могла победить во втором туре выборов.
*Возможно, мой анализ неточен. Лично я считаю, что хуже Тимошенко у украинцев не было кандидата в президенты, и то, что за неё так много людей голосовали, можно назвать победой популизма над разумом.
Уже давно предлагались альтернативные избирательные системы, которые позволили бы избегать таких парадоксов. Например, такая: проводится ряд “вторых туров” выборов, в которых все кандидаты сравниваются попарно. Тот кандидат, который побеждает любого другого кандидата во втором туре, называется победителем по Кондорсе. Проблема в том, что победитель по Кондорсе не всегда существует.
Существует так называемая теорема Эрроу, математически доказанная, которая звучит как “теорема о невозможности демократии”. Говоря более строго, согласно теореме Эрроу невозможна избирательная система, которая одновременно удовлетворяет критерию анонимности, нейтральности, монотонности и независимости от посторонних альтернатив.
Однако на самом деле все эти проблемы легко устранить, если заменить обычное голосование, в котором избиратель выбирает один пункт из списке, на более сложные варианты. Вот очень простая и действенная система: каждому кандидату в президенты избиратели ставят оценку, например по десятибалльной шкале, и эти оценки усредняются. Победителем объявляется тот, кто набрал в среднем наибольшую оценку. Нетрудно понять, что при такой системе все парадоксы исчезают!
Однако такая избирательная система, по-видимому, создаёт новые проблемы. В дальнейшем я буду называть это “эгоистичным голосованием”: суть в том, что избиратель при голосовании учитывает только собственные эгоистичные интересы и пренебрегает интересами других избирателей. Предположим, есть кандидаты A, B и С, и при “честном” голосовании избиратель поставил бы 8 кандидату A, 5 B и 1 кандидату C. Но поскольку этот избиратель считает кандидата A наилучшим, он может проголосовать иначе – поставить 10 A и по единице B и C. Таким образом он увеличивает шансы, что A победит на выборах.
Выше был высказан общепринятый в научном мире тезис, что общество, состоящее из эгоистически поступающих индивидов, менее жизнеспособное и благополучное, чем общество, состоящее из альтруистов. Избиратели, голосующие нечестно, в итоге только обманут сами себя – выборы станут менее точными и достоверными.
Чтобы уменьшить эту проблему, было предложено заменить десятибалльную систему на двубальную, или на систему “лайков”. Отсутствие “лайка” соответствует оценке 0, а его наличие – оценке 1. На первый взгляд кажется, что мы теряем таким образом в точности, но это, возможно, не очень серьёзная проблема: когда голосуют десятки миллионов человек, случайная ошибка усредняется почти до нуля.
Насколько я знаю, именно так голосуют во многих серьёзных организациях: IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers), American Statistical Association, Mathematical Association of America и др.. Однако и здесь может возникнуть проблема “эгоистичного голосования”: каждый избиратель ставит лайк только одному кандидату. Ходят слухи, что с IEEE так и было, в результате чего все перестали понимать, зачем нужна система лайков, и голосование “упростили”.
На самом деле, вопрос о проблеме “эгоистичного голосования” гораздо сложнее, чем может показаться на первый взгляд, и в данной книге нет чёткого на него ответа. Дело в том, что избиратель часто может голосовать по принципу “кто угодно, только не этот”. Например, если в описанном выше примере он ставит 10 A и по единице B и C, он этим увеличивает вероятность победы кандидата A, но в то же время и увеличивает шансы на победу у кандидата C, которого считает наихудшим. Возможно, он решит поставить побольше оценку B для того, чтобы застраховаться от победы C.
Вернёмся к примеру с кандидатами-близнецами и Гитлером. Если каждый избиратель считает своего кандидата-близнеца чуть лучше, чем другие, возможно он будет ставить лайк только ему, и тогда Гитлер победит (он наберёт 5% лайков, а конкуренты по 4.75%). Но, опять же, избиратель может поставить лайк другим близнецам только для того, чтобы застраховаться от победы Гитлера.
Вопрос о том, какие реальные проблемы будут возникать из-за возможности “эгоистичного голосования” – это интересная задача для математиков и специалистов по теории игр. Теоретически, чтобы кандидату-близнецу эгоистичный избиратель ставил единственный лайк, у этого кандидата должно быть достаточно высокое преимущество перед другими близнецами. Если избиратель считает его лучше других близнецов, например, всего на 1%, он (избиратель) начнёт ставить лайк этим другим близнецам. Порог предпочтительности кандидата, после которого избиратель перестаёт учитывать риск выбрать Гитлера, можно рассчитать математически на основе современного аппарата теории игр.
Возможно, проблема “эгоистичного голосования”, гораздо менее актуальна, чем может показаться, поскольку человек всё-таки – существо социальное. Можно ожидать, что сознательно голосовать “эгоистично” будет совсем небольшой процент избирателей, и на результаты выборов это практически не повлияет.
Если же всё-таки бороться с проблемой “эгоистичного голосования”, то её возможным решением может служить метод Шульце – произвольное ранжирование избирателем всех кандидатов. Предположим, в выборах участвует 6 кандидатов; тогда избиратель сортирует их в определённой последовательности, ставит какого-то из них на первое место, какого-то на второе и т.д. Получается примерно то же самое, что и оценка по шестибальной шкале: первому месту соответствует оценка 6, второму – 5, последнему – 1. Разница между методом Шульце и обычной оценкой по какой-то шкале заключается в том, что с Шульце избиратель лишён возможности поставить наивысшую оценку одному кандидату и самую низкую – всем остальным. Я читал, что с методом Шульце тоже возможны парадоксы, но полагаю они совсем малозначимые.
Если более детально анализировать проблему “эгоистичного голосования” при использовании оценки по шкале, становится ясно, что здесь будут очень важны экзит-поллы (опросы в день голосования). Вернёмся к ситуации, когда избиратель оценивает кандидата A на 8 баллов, кандидата B на 5 баллов и кандидата C на 1 балл. Если он смотрит по телевизору результаты экзит-поллов и видит, что кандидат B либо C лидирует и кандидат A немного от него отстаёт, он поставит 10 кандидату A и по единицы – кандидатам B и C. Если же он видит, что лидирует A и от него немного отстаёт B, то этот избиратель, вероятно, поставит 10 кандидату B и по 1 – A и C. Собственно, такая ситуация может возникнуть даже при самом традиционном голосовании.
Как быть в такой ситуации? Здесь возможны как минимум два практически противоположных подхода:
1) Запретить экзит-поллы, не сообщать избирателям о предварительных итогах;
2) Наоборот, публиковать и экзит-поллы, и предварительные итоги голосования как можно больше. Можно разделить голосование на несколько этапов, в конце каждого из них оповещать по СМИ о результатах.
Как видите, задача эта очень сложная. Тем не менее, очевидно можно найти какое-то наилучшее решение, если не идеальное то хотя бы оптимальное. Надо сказать, что проблема (если это вообще проблема) использованием избирателем результатов экзит-поллов может быть актуальной и с методом Шульце.
При голосовании методом оценке по шкале, возможно, возникнет ещё одна проблема: разные слои общества, разные социальные группы, разные регионы могут по-разному расценивать, какую оценку правильно поставить кандидату при одном и том же уровне предпочтений. Здесь имеется в виду следующее: если общепризнано, например, что кандидат A “не хуже Шарля де Голля”, становится непонятно, какую оценку заслуживает Шарль де Голь – может быть, 7, 8 или 9. Разные группы населения могут одинаково оценивать перспективность кандидата A, но одна группа считает что с таким “уровнем перспективности” следует ставить 6, а другая – 9. Ещё один шутливый пример: если на пост президента Украины будет претендовать Иисус Христос, жители западных областей поставят ему оценку 10 (по десятибалльной шкале), а жители восточных – только 9, поскольку на западе Украины население более религиозное.
Резюмируя, можно заключить следующее:
1) Вполне возможно, что метод оценки кандидатов по какой-то шкале (например, десятибальный) является идеальным. Если же с этим методом возможна проблема “эгоистичного голосования”, предлагается одновременно с каждыми выборами проводить анонимный опрос “корректировали ли вы сознательно оценки при голосовании”. Этот опрос должен быть совершенно анонимным, он не повлияет ни на какой результат выборов, но по его результату можно будет сделать вывод, следует ли отказаться от этой избирательной системы.
2) Если проблема “эгоистичного голосования” будет актуальной, можно перейти на голосование по методу Шульце. Вероятно, при выборе из множества кандидатов (например, при выборах в интернете) голосование нужно будет проводить в два тура – в первом туре просто ставятся лайки, а во втором проводится голосование по Шульце среди, например, шести кандидатов, набравших наибольшее количество лайков в первом туре.
3) На вопрос о том, какой вариант оптимален – публиковать промежуточные итоги голосования как можно более оперативно, либо наоборот запретить публиковать даже экзит-поллы, на данный момент нет чёткого ответа.
