моменты первого времени выхода

[ecartman]

Здравствуйте, пытаюсь разобраться со след. задачей: пусть $X_t$, $t\ge0$ - случайный процесс подчиняющийся стох. дифф. уравнению: $d X_t=a(X_t)dt+b(X_t)dW_t$ с начальным условием $X_0=y$. Здесь $W_t$ - Броуновское движение. Пусть $\tau(y,l,u)=\inf\{t\ge0\colon X_t\not\in(l,u)\}$ и пусть $M_n(y,l,u)=\mathbb{E}[\tau^n(y,l,u)]$ для $n=0,1,2,\ldots$. Известно, что $M_n$ починяются уравнению:

$$ -n M_{n-1}(y,l,u) = a(y)\frac{\partial}{\partial y} M_n(y,l,u)+\frac{b(y)}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2} M_n(y,l,u), $$

что является обобщением уравнения Дынкина (для $n=1$). Начальное условие тут $M_0(y,l,u)=1$ для всех $y,u,l$. Плюс два граничных условия. Эти условия зависят от типа уровней $l$ и $u$. Например, если $u$ - поглащающий экран, то $M_n(u,l,u)=0$ для всех $n$. Если $l$ - отражающий экран, то $\partial M_n(y,l,u)\partial y=0$ в точке $y=l$.

Допустим, теперь, что $X_t\ge0$ для всех $t\ge0$ (т.е. $y\ge0$ тоже) и подчиняется уравнению $dX_t=dt+X_tdW_t$. Пусть $l=0$ и $u>0$. Тогда 0 является естественной границей и уравнение на моменты имеет вид:

$$ -n M_{n-1}(y,l,u) = \frac{\partial}{\partial y} M_n(y,l,u)+\frac{y}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2} M_n(y,l,u). $$

Для $n=1$ частным решением получается функция $u-y$, а общим решением однородного уравнения является функция $C_1/y+C_2$, т.е., общее решение уравнения:

$$ M_1(y,0,u) =u-y+C_1/y+C_2. $$

Получается, что граничное условие в $0$ нельзя удовлетворить. Что тут не так? Или граничные условия заданы не верно? Спасибо.