2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Базис сопряжённого пространства.
Сообщение01.04.2014, 18:38 
Пусть $V = R_n[x]$, а отображение $\alpha^a, a \in R$ задано так:

$\alpha^a(f) = f(a)$

Нужно доказать, что стстема $\alpha^0, \alpha^1, ..., \alpha^n$ является базисом сопряжённого к $V$ пространства.
Пойдём прямо по определению базиса, докажем, что эта система ЛНЗ. И вот тут я не понимаю, как действовать дальше. В ответах есть подсказка, рассмотреть многочлены $1, x, ..., x^n$. Но я этой подсказки я тоже не понимаю.

 
 
 
 Re: Базис сопряжённого пространства.
Сообщение01.04.2014, 19:29 
main.c в сообщении #844228 писал(а):
...
Пойдём прямо по определению базиса, докажем, что эта система ЛНЗ. И вот тут я не понимаю, как действовать дальше...

Тут немного непонятно, то что эта система линейно независима уже доказано или надо еще доказать?
Если это доказано, то исходя из общих соображений - это базис.
Скорее всего это надо доказать. Берем нетривиальную линейную комбинацию и ищем многочлен на котором она не равна нулю

 
 
 
 Re: Базис сопряжённого пространства.
Сообщение01.04.2014, 21:10 
Так, взял ЛК:
$x_0\alpha^0(f) + ... + x_n\alpha^n(f) = 0$
$x_0f(0) + ... + x_nf(n) = 0$

Теперь рассмотрим многочлены $1, x, ..., x^n$, подставив их вместо $f$ получим СЛАУ отностильно коэффициентов ЛК:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & 1 & \cdots & n\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & 1^n & \cdots & n^n
 \end{pmatrix}$
Если эта матрица не вырождена, то эта СЛАУ имеет только тривиальное решение.
Определитель этой матрицы равен определителю матрицы
$\begin{vmatrix}
1 & 2 & \cdots & n\\
\vdots & \ddots & \ddots  & \vdots\\
1^n & 2^n & \cdots & n^n
 \end{vmatrix}$
Нам достаточно знать, равен или не равен нулю определитель, поэтому разделим каждый столбец на число равное номеру столбца, получим:
$\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
1^1 & 2^1 & \cdots & n^1\\
\vdots & \ddots & \ddots  & \vdots\\
1^{n-1} & 2^{n-1} & \cdots & n^{n-1}
 \end{vmatrix}$
А это определитель Вандермонда, в данном случае он не равен 0, а значит матрица не вырождена, а из этого следует, что $x_0 = x_1 = ... = x_n = 0$.
Вроде ошибок не вижу.

 
 
 
 Re: Базис сопряжённого пространства.
Сообщение01.04.2014, 22:30 
Нормально.
Проще (с моей точки зрения конечно) подобрав нехитрый многочлен сразу доказать, что всякий $x_i$ равен нулю, ну да ладно.

 
 
 
 Re: Базис сопряжённого пространства.
Сообщение01.04.2014, 22:36 
Аватара пользователя
Ещё один вариант.

Сначала надо доказать утверждение (если оно не очевидно). Пусть
$n=\dim V=\dim V^*$

$b_1, b_2, ... , b_n\in V$

$\beta^1, \beta^2, ... , \beta^n\in V^*$

$\beta^i(b_k)=\delta^i_k$
Тогда $\langle \beta^i \rangle$ линейно независимы, $\langle b_k\rangle$ тоже. Поэтому каждый из наборов будет базисом в своем пространстве.

Применительно к нашей задаче. Если мы покажем, что существует набор из $\dim V$ полиномов $f_k(x)$, таких, что $\alpha^i(f_k)=f_k(x_i)=\delta^i_k$ (т.е. в $k$-й точке только $k$-й полином равен $1$, остальные $0$), то всё доказано. А для этого достаточно вспомнить, что есть интерполяционная формула Лагранжа, которая единственным образом восстанавливает полином $n$-й степени по его значениям в $n+1$ различных точках (даже без деталей устройства формулы).

 
 
 
 Re: Базис сопряжённого пространства.
Сообщение01.04.2014, 22:45 
Это переформулировка (или расшифровка) моего предложения: подобрать соответствующий многочлен. Лагранж тут (несмотря на его тривиальность) слишком жирно.

 
 
 
 Re: Базис сопряжённого пространства.
Сообщение01.04.2014, 22:59 
Аватара пользователя
mihailm в сообщении #844348 писал(а):
Это переформулировка (или расшифровка) моего предложения
Простите меня за это.
mihailm в сообщении #844348 писал(а):
Лагранж тут (несмотря на его тривиальность) слишком жирно.
Простите меня за это.

 
 
 
 Re: Базис сопряжённого пространства.
Сообщение01.04.2014, 23:56 

(Оффтоп)

Паясничать не обязательно

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group