Теория множеств.

[julyk]

Найти множество $X$, удовлетворяющее условиям $A \bigcup X = B \bigcap X$, $A \bigcap X = C \bigcup X$, где $C\subseteq A \subseteq B$. Я рисовала разные множества на листочке и пришла к выводу, что для выполнения условий необходимо, чтобы $X=A$. Это верно, но необходимо доказать, что других таких множеств, удовлетворяющих условиям нет. Как это можно сделать?

[Brukvalub]

Хорошо бы понять, какое множество здесь закреплено. а какие можно варьировать.

[provincialka]

Раз сказано "Найти $X$", видимо, только оно переменное. Остальные фиксированы. Первое равенство означает, что $A\cup X$ входит как в $X$, так и в $B$.

[Brukvalub]

А вот я думаю, что В и С можно варьировать.

[julyk]

provincialka, вот мне тоже так кажется. И в условии есть, что $C\subseteq A \subseteq B$, т.е. показано, как множества соотносятся друг с другом. Что-то похожее на Ваше рассуждение, как мне кажется, от меня и хотят. Первое равенство означает, что $A\cup X$ входит как в $X$, так и в $B$. А второе, что $C\cup X$ входит как в $A$, так и в $X$. Наверное, на основе этого должно быть понятно, что $A=X-$ единственное решение, но я пока не очень это осознаю. Может можно как-то другими словами это сказать?

[provincialka]

Оба равенства аналогичные, достаточно разобраться с одним. Добейте те выводы, которые я сделала.

[julyk]

$C\cup X$ входит как в $A$, так и в $X$. Запишем $C\cup X\subseteq A$. Получаем $X\subseteq A$.
$A\cup X$ входит как в $X$, так и в $B$. Запишем $A\cup X\subseteq X$. Получим $A\subseteq X$. Это возможно, только когда $A=X$.

[provincialka]

Нормально.