периодическая функция

[gefest_md]

Задача из Панчишкин, Шавгулидзе, "Тригонометрические функции в задачах", стр. 31:

Цитата:

1.15. Доказать, что функция $f(t)=\operatorname{\tg}\frac{11t}{34}+\operatorname{\ctg}\frac{13t}{54}$ периодическая и найти ее основной период.

Не могу доказать, что $918\pi$ - основной период. Думаю об одной теореме, согласно которой если $f$ имеет основной период $T_0$, то $918\pi=nT_0,\ n\in\mathbb{Z}.$ Или лучше будет использовать точки разрыва?

[mihailm]

Какой минимальный период у каждого слагаемого?

[gefest_md]

mihailm в сообщении #842597 писал(а):

Какой минимальный период у каждого слагаемого?

$T_1=\frac{34\pi}{11}$, $T_2=\frac{54\pi}{13}$

[Алексей К.]

У, какая интересная задача!
Я бы теперь поискал такие целые $m,n$, чтобы выполнилось $mT_1=nT_2\;({=}T)$. И наименьшие при том.
Сейчас непременно займусь поиском.

[provincialka]

Дык, ТС ведь это уже сделал. Только не доказал, что меньше быть не может.
gefest_md, докажите через разрывы или нули.

[mihailm]

provincialka в сообщении #842644 писал(а):

Дык, ТС ведь это уже сделал...

как это можно понять?

[provincialka]

Что понять? Я поняла спрос так: ТС нашел общий период слагаемых, но не знает, не может ли при суммировании период уменьшиться?

[mihailm]

provincialka в сообщении #842667 писал(а):

Что понять? Я поняла спрос так: ТС нашел общий период слагаемых, но не знает, не может ли при суммировании период уменьшиться?

gefest_md, это так?

[gefest_md]

mihailm в сообщении #842773 писал(а):

provincialka в сообщении #842667 писал(а):

Что понять? Я поняла спрос так: ТС нашел общий период слагаемых, но не знает, не может ли при суммировании период уменьшиться?

gefest_md, это так?

Да, я доказал, что функция периодическая.

[provincialka]

gefest_md в сообщении #842837 писал(а):

Да, я доказал, что функция периодическая.

Это не совсем то, о чем вас спрашивали. Откуда взялось число 918?

[gefest_md]

provincialka в сообщении #842838 писал(а):

gefest_md в сообщении #842837 писал(а):

Да, я доказал, что функция периодическая.

Это не совсем то, о чем вас спрашивали. Откуда взялось число 918?

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{221}{297}$, $\text{НОД}(221, 297)=1.$

$T=221T_2=221\cdot\frac{54\pi}{13}=17\cdot 54\pi=918\pi$

[mihailm]

В принципе про 918 сойдет.

Может и есть какое остроумное решение, но его не видно, все решения какие-то нудные)
Абсциссы точек вертикальных асимптот образуют две последовательности - это раз. Далее, берем разность между соседними нулями всей функции (это некая доля периода) и начинаем прибавлять эту разность к этим точкам абсцисс.

[Алексей К.]

mihailm в сообщении #842884 писал(а):

Может и есть какое остроумное решение, но его не видно, все решения какие-то нудные)

А чем моё не остроумное? И простое, и минимальность видна, и...

Мне оно гениальным показалось, а Вы в нудное записываете...

[provincialka]

Алексей К., а ваше - это какое? Я что-то от вас никакого решения не видела

-- 30.03.2014, 01:40 --

Возникшую проблему можно сформулировать так. Пусть две функции имеют соизмеримые периоды $T_1,T_2$. Тогда у них есть и общий период $T$, кратный обоим. Ясно, что любой общий период будет периодом суммы, произведения и т.п. исходных функций. Верно ли обратное? Может ли у суммы (произведения и т.п.) существовать период, не являющийся периодом слагаемых (сомножителей)?

Очевидно, да: функция $\sin x\cos x$ имеет период в два раза меньший, чем сомножители. И даже для суммы есть контрпример: $\sin x$ и $\sin(-x)$ в сумме дают 0. Но этот пример тривиальный. Есть еще такие же случаи для функций $\sin ax, \cos ax, \tg ax, \ctg ax$... ?