рамка

[Oleg Zubelevich]

Рамка состоящая из четырех одинаковых стержней соединенных шарнирами $A,B,C,D$ положена на гладкую горизонтальную плоскость. В начальный момент времени рамка имеет форму квадрата и покоится. К шарниру $A$ прикладывают силу $F$. Каково ускорение точки $A$ в первый момент движения? Стержни однородны и каждый имеет массу $m$. В шарнирах трения нет.

[Oleg Zubelevich]

5F/(8m)

[mihiv]

Скорость изменения кинетической энергии рамки равна мощности внешней силы:

$$\dot W=Fv_A\qquad (1)$$

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий стержней и записывается в виде:

$$W=4\dfrac {I\omega ^2}2+2\dfrac {mV_1^2}2+2\dfrac {mV_2^2}2\qquad (2)$$

Здесь $I=\dfrac {ml^2}{12}$- момент инерции стержня относительно его центра масс, $V_1$- скорость центра масс каждого из стержней, соединенных в точке А, $V_2$- скорость центра масс каждого из стержней, соединенных в точке С, $\omega $ - угловая скорость одинаковая для всех стержней.
Центр масс рамки лежит в точке О пересечения диагоналей четырехугольника. Движение рамки за короткий отрезок времени $\Delta t$ можно представить как сумму смещения ее центра масс и смещения, связанного с деформацией рамки при неподвижном ц.м. Так смещение точки А равно:

$$\Delta x_A=\Delta x_O+\Delta d$$

Здесь первое слагаемое справа - смещение центра масс рамки, второе - смещение деформации. Отсюда

$$v_A=v_O+\dot d$$

Аналогично:

$$v_C=v_O-\dot d$$

Угловая скорость связана со скоростью деформации $\dot d$

$$\omega=\dfrac {\dot d}{l\cos \varphi }$$

$\varphi $- это половина угла между $AB$ и $CB$.Зная $\omega ,v_A, v_C$, найдем $V_1,V_2$. Например $V_{1x}=v_A- \dfrac {\omega l}2\cos {\varphi }$ и т.д. Подставим выражения для $\omega ,V_1,V_2$ в (1), продифференцируем его еще раз по времени с учетом того, что при $t=0$$ \omega ,V_O,\dot d=0(\dot V_O=\dfrac F{4m})$ и получим $\ddot x_A=\dfrac {5F}{8m}$

[Oleg Zubelevich]

мой вариант
Введем неподвижную систему координат $Gxy$ так, что ось $Gx$ проходит через диагональ рамки $CA$. Через $x$ будем обозначать координату центра рамки $O$ на оси $Gx$. Это первая обобщенная координата. В качестве второй обобщенной координаты возьмем угол $\psi $ между стержнем $BA$ и диагональю $CA$.

Введем оси Кенига $O\xi\eta$; ось $O\xi$ проходит через диагональ $CA$ и сонаправлена с осью $Gx$; ось $O\eta$ проходит через диагональ $DB$. Кинетическая энергия системы вычисляется по формуле

$$T=\frac{1}{2}4m \dot x^2+T^*,$$

где $T^*$ -- кинетическая энергия системы в ее движени относительно осей $O\xi\eta$. И того: $T=2m\dot x^2+(2I+ml^2/2)\dot\psi^2$. Кроме того $\overline{GA}=(x+l\cos\psi)\overline e_x$.
Обобщенные силы: $$Q_x=\Big(\frac{\partial \overline{GA}}{\partial x},F\overline e_x\Big)=F,\quad Q_\psi=\Big(\frac{\partial \overline{GA}}{\partial \psi},F\overline e_x\Big)=-Fl\sin\psi.$

Уравнения Лагранжа:

$$4m\ddot x=F,\quad J\ddot\psi=-Fl\sin\psi,\quad J=4I+ml^2.$$