Не удается взять интеграл

[smog]

Здравствуйте.
Прошу помощи со следующим интегралом: $\int_{-\infty}^{+\infty}ae^{-\frac{(x-a)^2}{4t}-a^2}da$

Понимаю, что скорее всего необходимо свести к интегралу вида $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2 + \beta x + \gamma}dx$, который (при $\alpha>0$) равен $\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{\gamma+\frac{\beta^2}{4\alpha}}$, но $a$ перед $e$ портит мне все счастье.

[Otta]

Полный квадрат выделяйте в показателе. Но сперва я бы исследовала на сходимость. Или не сперва. Но в любом случае.

[Dan B-Yallay]

по-моему надо сводить к интегралу Гаусса.

-- Ср мар 26, 2014 12:32:29 --

или нет.

-- Ср мар 26, 2014 12:39:05 --

формально по частям не пробовали?

[Otta]

Dan B-Yallay в сообщении #841229 писал(а):

формально по частям не пробовали?

Не нана. Сперва полный квадрат, потом лишнее вынести, потом линейная замена, потом все буит хорошо: два интеграла, один Гаусса (который Эйлера-Пуассона), другой берется. (или считается устно, на выбор).

[smog]

Dan B-Yallay в сообщении #841229 писал(а):

формально по частям не пробовали?

пробовал, ничего хорошего не вышло :)

Otta в сообщении #841225 писал(а):

Полный квадрат выделяйте в показателе. Но сперва я бы исследовала на сходимость. Или не сперва. Но в любом случае.

спасибо, сейчас попробую.

-- 26.03.2014, 23:17 --

Otta в сообщении #841239 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #841229 писал(а):

формально по частям не пробовали?

Не нана. Сперва полный квадрат, потом лишнее вынести, потом линейная замена, потом все буит хорошо: два интеграла, один Гаусса (который Эйлера-Пуассона), другой берется. (или считается устно, на выбор).

Вы не могли бы чуть подробнее расписать? Я получил выражение вида $e^{-\frac{x^2}{4t+1}}\int_{-\infty}^{+\infty}ae^{-(1+\frac{1}{4t})(a-\frac{1}{4t+1})^2}da$

[Ms-dos4]

так вы же уже всё сделали. Вы сами писали, что
$\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - a{x^2} - bx - c}}} dx = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{\frac{{{b^2}}}{{4a}} - c}}\]$

Теперь заметьте, что

$\[\frac{d}{{db}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - a{x^2} - bx - c}}} dx = - \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x{e^{ - a{x^2} - bx - c}}} dx\]$

Тогда $\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x{e^{ - a{x^2} - bx - c}}} dx = - \frac{d}{{db}}(\sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{\frac{{{b^2}}}{{4a}} - c}}) = -\frac{b}{2}\sqrt {\frac{\pi }{{{a^3}}}} {e^{\frac{{{b^2}}}{{4a}} - c}}\]$

[Otta]

smog в сообщении #841241 писал(а):

Вы не могли бы чуть подробнее расписать?

Могла бы. Если актуально.

[smog]

Ms-dos4 в сообщении #841292 писал(а):

так вы же уже всё сделали. Вы сами писали, что
$\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - a{x^2} - bx - c}}} dx = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{\frac{{{b^2}}}{{4a}} - c}}\]$

Теперь заметьте, что

$\[\frac{d}{{db}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - a{x^2} - bx - c}}} dx = - \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x{e^{ - a{x^2} - bx - c}}} dx\]$

Тогда $\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x{e^{ - a{x^2} - bx - c}}} dx = - \frac{d}{{db}}(\sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{\frac{{{b^2}}}{{4a}} - c}}) = -\frac{b}{2}\sqrt {\frac{\pi }{{{a^3}}}} {e^{\frac{{{b^2}}}{{4a}} - c}}\]$

и правда. Спасибо!

Otta в сообщении #841310 писал(а):

smog в сообщении #841241 писал(а):

Вы не могли бы чуть подробнее расписать?

Могла бы. Если актуально.

Да, если можно. Я уже разобрался, воспользовавшись советом выше, но хотелось бы понять и ваше предложение.

[ewert]

Первое, что надо сделать -- это тупо привести показатель экспоненты к стандартному квадратичному виду, потом не менее тупо (как уже было метко замечено) выделить полный квадрат и ещё более тупо т.д.

Но это -- во-первых. А в-нулевых -- следовало бы задаться вопросом: а бывают ли вообще такие интегралы? -- и тогда сразу же и ответ: нет, практически не бывают. Вхождения "$a$" абсолютно неестественны с точки зрения размерностей.

[smog]

ewert в сообщении #841952 писал(а):

Первое, что надо сделать -- это тупо привести показатель экспоненты к стандартному квадратичному виду, потом не менее тупо (как уже было метко замечено) выделить полный квадрат и ещё более тупо т.д.

Но это -- во-первых. А в-нулевых -- следовало бы задаться вопросом: а бывают ли вообще такие интегралы? -- и тогда сразу же и ответ: нет, практически не бывают. Вхождения "$a$" абсолютно неестественны с точки зрения размерностей.

Прошу прощения, не совсем понимаю почему этого интеграла не может быть.