биекция R->R в заданными свойствами

[АльфияР]

Построить взаимнооднозначное отображение f:R-->R, такое, что множество значений выражения f (x+y)-f (x)-f (y) состоит ровно из двух чисел – 0 и 1.

[4arodej]

на каком множестве должна быть биекция?

[АльфияР]

взаимнооднозначное соответствие на множестве действительных чисел

[4arodej]

последнее уточнее несколько затрудняет задачу, но всё же склеивание функций $f_1(x)=ax$ и $f_2(x)=ax-1$ должны дать нужное: в первом случае $f (x+y)-f (x)-f (y)=0$, во втором: $f (x+y)-f (x)-f (y)=1$

[АльфияР]

Уточните, пожалуйста, термин "склеивание функций"? не очень понятно, что имелось в виду!

[RIP]

АльфияР писал(а):

Уточните, пожалуйста, термин "склеивание функций"?

Видимо, имеется в виду следующее. Разобьём $\mathbb{R}$ на два непересекающихся непустых множества $\mathbb{R}=A\cup B$ и положим функцию равной $x$ на множестве $A$ и $x-1$ на множестве $B$. Если $A$ и $B$ замкнуты относительно сложения, то всегда будет $f(x+y)-f(x)-f(y)\in\{0;1\}$. Надо ещё обеспечить, чтобы при отображении $x-1$ множество $B$ отображалось на себя. Конструктивного примера я что-то не могу сообразить, придумалось только такое. Рассмотрим $\mathbb{R}$ как векторное пространство над $\mathbb{Q}$ и выберем базис $\{e_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$. Фиксируем какой-нибудь $e_{\lambda_0}\notin\mathbb{Q}$ и отнесём к $A$ все те $x=\sum\limits_{\lambda}x_\lambda e_\lambda\in\mathbb{R}$, у которых $x_{\lambda_0}>0$, а в $B$ запихнём всё остальное.

[Vir]

немного не понятно как можно подобрать это отображение

[Lyoha]

Возьми числа, представимые в виде \sqrt 2 * n + q, где n \in \mathbb{N}, q \in \mathbb{Q}. Пусть преобразование f(x)=x-1 на этом множестве и тождественное на остальной оси. Легко проверить его свойства.