эллипс на плоскости

[Oleg Zubelevich]

Очень простая задачка для 1 семестра (или физ-мат школы)




Плоскость наклонена под углом $\alpha $ к горизонту. По плоскости может без проскальзывания катиться однородная эллиптическая пластинка с полуосями $a,b$. Сколько устойчивых и неустойчивых положений равновесия имеет данная система в зависимости от $a,b,\alpha$

-- Вт мар 25, 2014 12:54:18 --

Для любителей задавать глупые вопросы: имеются в виду различные положения равновесия, которые не получаются друг из друга параллельным переносом эллипса.

[ИСН]

Красиво. Теория катастроф на простом примере. Было, было равновесие (даже два), а потом хопа! - и нету.

[Oleg Zubelevich]

Представим себе эллипс в стандартной декартовой системе координат. Тогда на той части дуги эллипса, которая лежит в первой четверти (исключая точки лежащие на осях координат) могут быть 0, 1, 2 положения равновесия -- в зависимости от значений параметров задачи.

[ИСН]

Ну как обычно. 1 - это при граничном значении, когда два (устойчивое и неустойчивое) сливаются, чтобы исчезнуть.

[Munin]

Кстати, бывают ли задачи (и как они устроены), в которых бывает 2 или 0 положения равновесия, но не бывает 1?

[Oleg Zubelevich]

бывают, конечно

[Munin]

Это только часть ответа :-)

-- 25.03.2014 16:58:47 --

Я пока представил себе только один вариант, и он меня не совсем устраивает.

[Oleg Zubelevich]

возьмите систему с потенциалом $V(x)=\int_0^x(s-1)^2(s+1)^2ds+ax$. при $a>0$ положений равновесия нет, при $a=0$ их 2

[Munin]

Да, спасибо. Такой пример не пришёл мне в голову, он лучше. Впрочем, не нравится он мне так же, как и мой, по той же причине (не является примером "общего положения", малая деформация нарушает это его свойство).

[Oleg Zubelevich]

Естественно, а такой пример и не может быть общего положения.

[Munin]

Хм-м-м, наверное, так.

[TOTAL]

Равновесие - это когда угол между $(x/a^2, y/b^2)$ и $(x, y)$ равен $\alpha$. Здесь $x=a \cos(\omega), \; y=b \sin(\omega).$
Получаем $ \displaystyle \sin(2\omega)={2 \tg(\alpha)}/({a/b-b/a})$

[Oleg Zubelevich]

да, у меня тоже самое. ну и следующий вопрос про устойчивость этих положений равновесия

[Munin]

Одно устойчивое, другое неустойчивое, это очевидно, если взять предельный случай горизонтальной плоскости.