Радиусы

[Terraniux]

Докажите, что выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$ описан тогда и только тогда, когда выполняется равенство $\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_3}=\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_4}$, где $r_1,r_2,r_3,r_4$ - радиусы вписанных окружностей треугольников $AOB,BOC,COD,AOD$ соответственно.

[Dimoniada]

(Оффтоп)

Задача необычная, т.к. в решении (по-мойму припоминаю ) использовался квадрат равенства, а не само оно.

[Dimoniada]

Геометрия, 9-11. От учебной задачи к творческой (Шарыгин И.Ф.), №926, п. a).
Ход решения (там же):
1) Подстановка в исходное р-во $r = S/p$
2) Возведение получившегося р-ва в квадрат
3) Замена квадратов боковых сторон чет-ка (по т. косинусов для внутренних 4-ёх треугольничков)
4) Добавление справа и слева суммы квадратов 4-ёх частей диагоналей и приход к р-ву $(a+c)^2 = (b+d)^2$