Действие линзы

[quantum newbie]

Прошлые мои темы:
topic82249.html
topic82328.html

Я почитал литературу и свёл свою задачу к такой:
Ось оптической системы $Oz$, идеальная линза расположена в плоскости $Oxy$. В левом полупространстве $z<0$ находится поле $\mathbf{E}(\vec{r})$ и $\mathbf{B}(\vec{r})$ от источников света цвета $\omega$. Какое поле будет в правом полупространстве $z>0$, если там нет посторонних источников? Иными словами, пространство справа свободное.

Основная идея, на которую я опираюсь, заключается в том, что плоская волна фокусируется в заведомо известную точку. Действительно, считаем, что при $z<0$ волна представляется в виде

$$E = \int\limits_{k = \frac\omega c} \mathbf{E}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} d^3\mathbf{k}$$

Пусть слева имеется только одна волна $\mathbf{E}_0 e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}}$ при $kc=\omega$. Ожидается, что справа будет сферическая волна, которая сходится к точке $\mathbf{f}_{\mathbf{k}}(F,F\frac{k_x}k,F\frac{k_y}k)$ на фокальной плоскости. Введём сферические координаты в точку $\mathbf{f}_\mathbf{k}$.

Выводимо, что волновое уравнение $\Delta\mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0$ имеет решение двух типов: электрического и магнитного. В двух случаях $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ выражаются через вторые производные некоторых функций-потенциалов, например, решение электрического типа выглядит так:

$$E_r = U_{rr} + k^2 U, \quad E_\theta = \frac1r U_{r\theta}, \quad E_\varphi = \frac1{r\sin\theta} U_{r\varphi},$$

$$U_{rr} + \frac1{r^2} \frac1{\sin\theta}(\sin\theta U_\theta)_\theta + \frac1{r^2 \sin^2\theta} U_{\varphi\varphi} + k^2 U = 0.$$

Это же уравнение можно свести к волновому заменой $U=ru$. Из ЛЛ и некоторой литературе по УМФ, решение ищется в виде $u=R(r)Y(\theta,\varphi)$. По аналогии с задачей атома водорода (потому что там такое же уравнение получается на волновую функцию) здесь решений будет много и все их можно классифицировать тремя числа $nlm$ известным образом.

Вопрос:
если радиальных частей $R_n(r)$ бесконечно много, сферических частей $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ бесконечно много, да ещё два типа решения для каждой $nlm$ имеется, какой же из всех этих вариантов реализуется, когда на линзу падает обычная плоская волна, которая должна сфокусироваться в начало сферической системы координат?

[Munin]

Есть как минимум три уровня описания оптики:
- геометрическая оптика: лучи, эйконал, каустики;
- волновая оптика: фаза и амплитуда, интерференция и дифракция;
- электромагнетизм: отдельно электрическое и магнитное поле, неизбежные отражения от всех поверхностей, нет идеального поглощения, всякие токи в веществе, поляризация и т. п.
Если углубляться, то возможны ещё уровни квантовой оптики и квантовой электродинамики (нужны для описания лазеров, когерентности и некогерентности, излучения и поглощения на микроуровне).

Так вот, понятие "идеальная линза" существует только на первом уровне, геометрической оптики. И то, в некотором приближении (параксиальном). Вне этого приближения, любая преломляющая масса стекла будет давать самое меньшее сферические аберрации. Дальше, на уровне волновой оптики никакой пучок света нельзя сфокусировать в пятно меньше длины волны.

Поэтому, ваша задача заведомо неправильно поставлена.

[quantum newbie]

Спасибо, Munin, Вы заставили меня надолго задуматься.

Я работаю в рамках волновой оптики, по крайней мере меня интересуют интерференционные эффекты при внедрении инородных тел между линзой и изображением. Задачу я описал выше и вижу необходимым использовать именно волновую оптику.

Объясните разницу между пунктами «волновая оптика» и «электромагнетизм». Я считал, что особой разницы нет, кроме учёта поляризации.

[Munin]

Ну, пожалуй что и нет. Ведь нас заряды и токи не волнуют.

[quantum newbie]

Я открыл близлежащую литературу по волновой оптике. Я вижу вывод уравнения, которое приводил в другой теме

$$\Delta \mathbf{E} + \operatorname{grad} (\frac1\varepsilon \mathbf{E}\operatorname{grad} \varepsilon) = \frac\varepsilon{c^2} \ddot{\mathbf{E}}$$

Далее говорится, что если среда однородна, то тогда Геймгольц, Френель-Киргхгоф, Гюйгенс и т.п.
У меня это не работает. Отсюда я сделал вывод, что в моей задаче нужно отсылаться к исходным уравнениям.

[Munin]

Почему не работает? Насколько не работает? (количественно)

[quantum newbie]

А, простите, я разбил свой вопрос на три темы, чтоб как-то систематизировать обсуждение, а сейчас вот начал путаться.

В ранней своей теме я задал вопрос о системе объект-линза-среда-экран. Если среды нет, то рассуждать можно классически. Если среда есть и она неоднородная и меня интересуют именно диффракционные эффекты, то нужно решать четко. Неоднородность среды приводит к тому, что в приведенном выше уравнении нельзя убрать стремный член, а значит, нельзя красиво разложить по плоским или каким-то другим волнам, как и вообще проводить рассуждения, которые обычно проводятся в волновой оптике. Отсюда я сделал вывод, что нужно решать уравнение в векторном виде. Далее, согласно задаче, исходная волна от объекта проходит через линзу и далее проходит через среду, а это означает, что нужно узнать поле непосредственно около линзы, чтобы использовать его в качестве граничного условие вышеприведенного диффура (точнее, системы диффуров, потому что есть ещё $\operatorname{div} (\varepsilon E) = 0$), поэтому я поставил вопрос как первом посте.

Я буду очень рад, если окажется, что можно уйти от векторов и работать с уютненькими скалярными амплитудами и фазами, но никакой из вышеуказанных принципов (Гюйгенс, Френель-Кирхгоф) не работают потому, что их нельзя вывести. Количественно я не дам Вам невязку по очевидным причинам: для этого нужно решить задачу двумя методами, и именно более фундаментальный метод у меня вызывает вопросы.

[Munin]

quantum newbie в сообщении #842469 писал(а):

стремный член

:-) Впервые слышу такой термин.

Ну, вы его можете привести к более приличному виду, рассматривая приближение в случае, когда характерные расстояния, на которых меняется $\varepsilon,$ значительно $\gg\lambda.$

Правда, это не годится на границе раздела сред, но там можно поступить иначе: считать поверхность раздела гладкой с неоднородностями тоже $\gg\lambda.$ И рассматривая её как нечто другое, чем просто $\operatorname{grad}\varepsilon.$

Подозреваю даже, где-нибудь в учебниках по оптике эти уравнения есть, но тут что вам легче даётся: самому на бумажке выписать или в литературе копаться. Для начала можно сунуться в Борна-Вольфа, Ландсберга, Ахманова-Никитина. Калитеевский?

quantum newbie в сообщении #842469 писал(а):

Я буду очень рад, если окажется, что можно уйти от векторов и работать с уютненькими скалярными амплитудами и фазами

Боюсь, в принципе нельзя, потому что поляризация. Максимум, вы можете замаскировать для себя векторы под коэффиециентами поляризации, которые придётся таскать за собой как матрицу вместо скаляров. Но не надо векторов бояться, это всего лишь несколько чисел вместо одного.